A B. 4134. feladat (2008. december)

B. 4134. Egy $a_1<a_2<\ldots<a_k$ sorozatra jelölje $t_3(a_1,\ldots,a_k)$ a sorozat elemeiből kiválasztható háromtagú számtani sorozatok számát. Bizonyítandó, hogy $t_3(a_1,\ldots,a_k)\le t_3(1,2,\ldots,k)$ .

(4 pont)

A beküldési határidő 2009. január 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Nyilván pontosan k darab konstans háromtagú számtani sorozatot képezhetünk, a szigorúan csökkenő sorozatok száma pedig megegyezik a szigorúan növő sorozatok számával. Feltehetjük tehát, hogy kizárólag a szigorúan növő sorozatokat számoljuk össze. Jelölje 1 $\le$ i $\le$ k esetén $t_3^i(a_1,\ldots,a_k)$ a sorozat elemeiből kiválasztható azon háromtagú számtani sorozatok számát, amelyeknek középső eleme a_i. Egy ilyen sorozat első eleme az $a_1,\ldots, a_{i-1}$ , harmadik eleme pedig az $a_{i+1},\ldots,a_k$ számok közül kerül ki, ezért

$t_3^i(a_1,\ldots,a_k)\le \min\{i-1,k-i\}= t_3^i(1,2,\ldots,k).$

Minthogy

$t_3(a_1,\ldots,a_k)=\sum_{i=1}^k t_3^i(a_1,\ldots,a_k),$

a bizonyítandó állítást ezen egyenlőtlenségek összegzésével nyerjük.

Statisztika:

37 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: Mészáros András.

3 pontot kapott: Beke Lilla, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Éles András, Frankl Nóra, Horowitz Gábor, Janzer Olivér, Kalina Kende, Kiss 232 Dóra, Kovács 235 Gábor, Kunos Vid, Lenger Dániel, Mester Márton, Strenner Péter, Varga 171 László, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.

2 pontot kapott: 8 versenyző.

0 pontot kapott: 11 versenyző.

A KöMaL 2008. decemberi matematika feladatai

37 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Mészáros András.
3 pontot kapott:	Beke Lilla, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Éles András, Frankl Nóra, Horowitz Gábor, Janzer Olivér, Kalina Kende, Kiss 232 Dóra, Kovács 235 Gábor, Kunos Vid, Lenger Dániel, Mester Márton, Strenner Péter, Varga 171 László, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	11 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?