Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4138. feladat (2008. december)

B. 4138. Oldjuk meg a következő egyenletet:

$\sqrt{2}\cdot (\sin x+\cos x)= \mathop{\rm tg} x+ \mathop{\rm ctg} x.$

(4 pont)

A beküldési határidő 2009. január 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Ha a jobboldal értelmes, akkor $\mathop{\rm ctg} x=1/\mathop{\rm tg} x$ miatt $|\mathop{\rm tg} x+ \mathop{\rm ctg} x|\ge 2$ . Másrészről

$\sin x+\cos x=2\cos(45^\circ-x)\sin45^\circ=\sqrt{2}\cos(45^\circ-x)$

miatt $|\sqrt{2}\cdot (\sin x+\cos x)|=2|\cos(45^\circ-x)|\le 2$ . Ezért az egyenlet minden x megoldására |cos (45^o-x)|=1, vagyis x=45^o+k^.180^o teljesül alkalmas k egész számmal. Ezek közül azonban csak a 45^o+k^.360^o alakú szögek megoldásai az egyenletnek.

Statisztika:

132 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: 76 versenyző.

3 pontot kapott: 37 versenyző.

2 pontot kapott: 8 versenyző.

1 pontot kapott: 2 versenyző.

0 pontot kapott: 3 versenyző.

Nem versenyszerű: 6 dolgozat.

A KöMaL 2008. decemberi matematika feladatai

132 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	76 versenyző.
3 pontot kapott:	37 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.