Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4139. feladat (2008. december)

B. 4139. Az ABC hegyesszögű háromszög két magasságvonala BE és CF. Az EF egyenes a körülírt kört P-ben és Q-ban metszi. Bizonyítsuk be, hogy AP=AQ.

(4 pont)

A beküldési határidő 2009. január 15-én LEJÁRT.

Megoldás: A körülírt kör középpontja legyen O, az A-ból az EF egyenesre bocsájtott merőleges talppontja X, az ABC szöget pedig szokás szerint jelölje \beta. Ekkor AOC\sphericalangle=2\beta, vagyis CAO\sphericalangle=ACO\sphericalangle=90^\circ-\beta. Mivel E és F egyaránt a BC szakaszra emelt Thalesz-körön helyezkednek el, a BCEF négyszög húrnégyszög és így AEF\sphericalangle=\beta. Ebből adódik, hogy CAX\sphericalangle=90^\circ-AEF\sphericalangle= CAO\sphericalangle, vagyis az AX egyenes áthalad az O ponton. Más szóval az AX egyenes a kör egy szimmetriatengelye, ami felezi a rá merőleges PQ húrt, amiért is az AXP és AXQ derékszögű háromszögek egybevágóak, AP=AQ.

Statisztika:

79 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:68 versenyző.
3 pontot kapott:2 versenyző.
2 pontot kapott:3 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

A KöMaL 2008. decemberi matematika feladatai