 |
A B. 4143. feladat (2009. január) |
B. 4143. Egy négyzet két szomszédos csúcsa egy egység sugarú körre illeszkedik. Mi a másik két csúcsnak a kör középpontjától való lehetséges legkisebb és legnagyobb távolsága?
(4 pont)
A beküldési határidő 2009. február 16-án LEJÁRT.
Megoldás: A másik két csúcs a középponttól ugyanolyan távol helyezkedik el. Az egyszerű megoldás kulcsa a feladat következő átfogalmazása. Adott egy egység sugarú k kör és annak egy A pontja. A pozitív körüljárású ABCD négyzet B csúcsa a k körre illeszkedik. Mi a D csúcsnak a kör O középpontjától való lehetséges legkisebb és legnagyobb távolsága?
A D csúcsot a B-ből A körüli pozitív irányú 90o-os forgatással kapjuk. Ezért amikor a B csúcs befutja a k kör A-tól különböző pontjait, a D csúcs mértani helye azon O' középpontú k' kör A-tól különböző pontjaiból áll, amelyet a k-ból ugyancsak A körüli pozitív irányú 90o-os forgatás hoz létre. Az extremális helyzetben lévő D pontok az OO' egyenesen helyezkednek el. Mivel az OO' távolság , a D pontnak O-tól való lehetséges legkisebb távolsága
, lehetséges legnagyobb távolsága pedig
.
Statisztika:
80 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Balla Attila, Bárány Ambrus, Blázsik Zoltán, Botos Csongor, Brunda Dániel, Cséke Balázs, Csere Kálmán, Csizmadia Luca, Dinh Hoangthanh Attila, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Fekete Dorottya, Frankl Nóra, Hajdók Soma, Janosov Milán, Kiss 902 Melinda Flóra, Klenk 191 Blanka, Klincsik Gergely, Korondi Zénó, Kunos Vid, Lantos Tamás, Lovas Lia Izabella, Maknics András, Márkus Bence, Mészáros András, Muszka Balázs, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Prok Tamás, Réti Dávid, Szenczi Zoltán, Tóth 222 Barnabás, Török 999 Csaba, Varju 105 Tamás, Vuchetich Bálint, Weisz Ágoston. 3 pontot kapott: Béres Ferenc, Böőr Katalin, Czégel Dániel, Huszár Kristóf, Jernei Tamás, Keresztfalvi Tibor. 2 pontot kapott: 11 versenyző. 1 pontot kapott: 4 versenyző. 0 pontot kapott: 21 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2009. januári matematika feladatai