A B. 4149. feladat (2009. január)

B. 4149. Egy pontnak egy háromszög A, B, C csúcsain áthaladó magasságvonalaira eső merőleges vetülete legyen rendre A₁, B₁, C₁. Bizonyítsuk be, hogy a háromszög síkjában pontosan egy olyan pont létezik, amelyre az AA₁, BB₁, CC₁ szakaszok egyenlőek, és ekkor e szakaszok hossza az ABC háromszögbe írt kör átmérője.

Kvant feladat alapján

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. február 16-án LEJÁRT.

Megoldás: Kicsit általánosabban, vetítsünk a magasságvonalak egyeneseire. Az A,B,C csúcsokat a szemközti oldalak felezőpontjára tükrözve ahhoz az A'B'C' háromszöghöz jutunk, amelynek középvonalai éppen az eredeti háromszög oldalai. Az a feltétel, hogy az AA₁, BB₁, CC₁ szakaszok hossza megegyezik, ekvivalens azzal, hogy a szóban forgó pont az A'B'C' háromszög oldalaitól egyenlő távolságban helyezkedik el. Ilyen pont pontosan négy van: az A'B'C' háromszögbe írható kör középpontja, illetve kozzáírt köreinek középpontja. Az utóbbi esetekben valamelyik vetület nem a magasságvonalra esik, hanem annak meghosszabbítására. Az első esetben az AA₁, BB₁, CC₁ szakaszok közös hossza megegyezik az A'B'C' háromszögbe írható kör sugarával. Mivel az A'B'C' háromszög hasonló az ABC háromszöghöz, a hasonlóság aránya pedig 2:1, valóban az ABC háromszögbe írt kör átmérőjéről van szó. A vetületek pedig biztosan a magasságvonalakra esnek, hiszen a beírt kör átmérője rövidebb bármelyik magasságvonal hosszánál.

Statisztika:

28 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Cséke Balázs, Éles András, Fonyó Dávid, Hajdók Soma, Huszár Kristóf, Janosov Milán, Keresztfalvi Tibor, Kiss 902 Melinda Flóra, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Mester Márton, Nagy 648 Donát, Varga 171 László, Varju 105 Tamás, Zsakó András.
4 pontot kapott:	Márki Róbert, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Tóth 222 Barnabás, Tuan Nhat Le.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2009. januári matematika feladatai