A B. 4150. feladat (2009. január)

B. 4150. Egy tízzel nem osztható, legalább 100-jegyű szám két különböző számjegyét felcseréltük egymással, az így kapott számnak pontosan ugyanazok a prímosztói, mint az eredeti számnak. Mutassunk példát ilyen számra.

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. február 16-án LEJÁRT.

Megoldás: Ha az n darab egyesből álló $A_n=111\ldots111$ számot 13-mal szorozzuk, akkor az n+1 jegyű $B_n=144\ldots443$ számhoz jutunk, 31-gyel szorozva pedig az ugyancsak n+1 jegyű $C_n=344\ldots441$ számot kapjuk. Elegendő tehát olyan n $\ge$ 99 számot keresni, amelyre az A_n=(10ⁿ-1)/9 szám prímosztói között szerepel a 13 és a 31 is. A kis Fermat tétel szerint $10^{12}\equiv 1\pmod{13}$ és $10^{30}\equiv 1 \pmod{31}$ . Ha tehát n osztható 12-vel és 30-cal is, akkor A_n osztható mind 13-mal, mind 31-gyel. A B₁₂₀ szám ezek szerint megfelelő példa.

Statisztika:

26 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Czeller Ildikó, Damásdi Gábor, Éles András, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Horváth Dániel, Kiss 427 Borbála, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács 235 Gábor, Kovács 729 Gergely, Márkus Bence, Mester Márton, Nagy 111 Miklós, Nagy 648 Donát, Varga 171 László, Weisz Ágoston.

4 pontot kapott: Keresztfalvi Tibor, Strenner Péter.

0 pontot kapott: 4 versenyző.

A KöMaL 2009. januári matematika feladatai

26 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Czeller Ildikó, Damásdi Gábor, Éles András, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Horváth Dániel, Kiss 427 Borbála, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács 235 Gábor, Kovács 729 Gergely, Márkus Bence, Mester Márton, Nagy 111 Miklós, Nagy 648 Donát, Varga 171 László, Weisz Ágoston.
4 pontot kapott:	Keresztfalvi Tibor, Strenner Péter.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?