A B. 4153. feladat (2009. február)

B. 4153. Az ABC háromszög körülírt körének középpontja O, magasságpontja M. Vegyük föl az E és F pontokat az AC és AB félegyeneseken A-tól AO, illetve AM távolságra. Bizonyítsuk be, hogy ekkor EF=AO.

(4 pont)

A beküldési határidő 2009. március 16-án LEJÁRT.

Megoldás: A feladat sajnos pontatlanul került kitűzésre, az állítás nyilvánvalóan hamis, ha az A csúcsnál lévő $\alpha$ szög tompaszög. A megoldás során feltesszük tehát, hogy nem ez a helyzet. Ha $\alpha$ =90^o, akkor M=A=F, és az állítás magától értetődő. Legyen tehát $\alpha$ hegyesszög. Szimmetria okok miatt feltehetjük, hogy a B csúcsnál is hegyesszög van, ekkor az M és C pontok az AB egyenesnek ugyanazon az oldalán helyezkednek el.

Ismeretes, hogy ekkor az M pontnak az AB szakaszra vett M' tükörképe a körülírt körre esik, amint arről egyszerű szögszámolással is meggyőződhetünk. Ezért a szinusz-tétel értelmében AF=AM=AM'=2Rsin (90^o- $\alpha$ )=2Rcos $\alpha$ , ahol R=AO=AE a körülírt kör sugara. Megállapíthatjuk tehát, hogy AF=2AEcos $\alpha$ . Az AEF háromszögre a koszinusz-tételt felírva

EF²=AE²+AF²-2AE^.AFcos $\alpha$ =AE²,

vagyis valóban EF=AE=AO.

Statisztika:

46 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: Blázsik Zoltán, Botos Csongor, Csere Kálmán, Éles András, Frankl Nóra, Huszár Kristóf, Janosov Milán, Kiss 902 Melinda Flóra, Kunos Vid, Lantos Tamás, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Márki Róbert, Márkus Bence, Mester Márton, Perjési Gábor, Somogyi Ákos, Varga 171 László, Weisz Ágoston.

3 pontot kapott: Balla Attila, Beke Lilla, Béres Ferenc, Böőr Katalin, Bősze Zsuzsanna, Dinh Hoangthanh Attila, Egyed Zsombor, Győrfi 946 Mónika, Kiss Boldizsár, Korondi Zénó, Kovács 888 Adrienn, Kovács 999 Noémi, Milánkovich Dorottya, Morapitiye Sunil, Muszka Balázs, Németh 217 Balázs, Szabó 928 Attila, Szenczi Zoltán, Tóth Tekla, Török 999 Csaba, Vuchetich Bálint, Weisz Gellért, Welsz Edit.

2 pontot kapott: 3 versenyző.

0 pontot kapott: 1 versenyző.

A KöMaL 2009. februári matematika feladatai

46 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Blázsik Zoltán, Botos Csongor, Csere Kálmán, Éles András, Frankl Nóra, Huszár Kristóf, Janosov Milán, Kiss 902 Melinda Flóra, Kunos Vid, Lantos Tamás, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Márki Róbert, Márkus Bence, Mester Márton, Perjési Gábor, Somogyi Ákos, Varga 171 László, Weisz Ágoston.
3 pontot kapott:	Balla Attila, Beke Lilla, Béres Ferenc, Böőr Katalin, Bősze Zsuzsanna, Dinh Hoangthanh Attila, Egyed Zsombor, Győrfi 946 Mónika, Kiss Boldizsár, Korondi Zénó, Kovács 888 Adrienn, Kovács 999 Noémi, Milánkovich Dorottya, Morapitiye Sunil, Muszka Balázs, Németh 217 Balázs, Szabó 928 Attila, Szenczi Zoltán, Tóth Tekla, Török 999 Csaba, Vuchetich Bálint, Weisz Gellért, Welsz Edit.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?