A B. 4155. feladat (2009. február)

B. 4155. Oldjuk meg a következő egyenletet:

a²b²+b²c²+c²a²+a²+b²+c²+4(a+b+c)+12=6abc+4(ab+bc+ca).

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. március 16-án LEJÁRT.

Megoldás: Hozzuk az egyenletet (ab-c+2)²+(ac-b+2)²+(bc-a+2)²=0 alakra. Innen leolvasható, hogy a megoldásra ab-c+2=ac-b+2=bc-a+2=0 teljesül. Az első feltétel szerint ab-c=ac-b, vagyis (a+1)(b-c)=0, ahonnan a=-1 vagy b=c teljesül. Ugyanígy kapjuk, hogy ha ab, akkor c=-1, illetve ac esetén b=-1. Ha a három szám megegyezne, akkor mindhárom gyöke lenne az x²-x+2=0 egyenletnek, aminek azonban nincs valós gyöke. Ezért valamelyik szám különbözik a másik kettőtől. Szimmetria okok miatt feltehetjük, hogy ab és ac. Ekkor b=c=-1, ahonnan végül a=3 adódik. Mivel ez a számhármas valóban kielégíti az egyenletet, annak három megoldása lesz: a₁=3,b₁=c₁=-1, valamint a szerepek felcserélésével kapott b₂=3,a₂=c₂=-1, illetve c₃=3,a₃=b₃=-1.

Statisztika:

54 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ambrits Dániel, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Botos Csongor, Csizmadia Luca, Czégel Dániel, Damásdi Gábor, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Fonyó Dávid, Gyarmati Máté, Huszár Kristóf, Keresztfalvi Tibor, Kiss 716 Eszter, Korondi Zénó, Kovács 888 Adrienn, Kovács 999 Noémi, Lantos Tamás, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Márki Róbert, Márkus Bence, Mester Márton, Nagy 111 Miklós, Nagy 648 Donát, Nguyen Milán, Paripás Viktor, Perjési Gábor, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Szabó 124 Zsolt, Szalai Zsófia, Szórádi Márk, Tóth Tekla, Vadon Viktória, Varga 171 László, Vuchetich Bálint, Weisz Ágoston, Zelena Réka.
4 pontot kapott:	Énekes Péter, Kovács 235 Gábor, Papp Márk Ádám, Zolcsák Zita.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2009. februári matematika feladatai