A B. 4175. feladat (2009. április)

B. 4175. Legyenek A, B, C, D általános helyzetű pontok a síkon. Igazoljuk, hogy ha az ABC és az ABD körök merőlegesen metszik egymást, akkor ugyanez igaz az ACD és a BCD körökre is.

(4 pont)

A beküldési határidő 2009. május 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Tekintsük az A középpontú, AB sugarú körre vonatkozó inverziót. Ez az A pontot az ideális pontba viszi, a B pontot pedig helybenhagyja. A C, illetve D pontok képét jelölje C' és D'. Az transzformáció az ABC kört a BC' egyenesbe, az ABD kört pedig a BD' egyenesbe viszi. Mivel az inverzió szögtartó transzformácó, ez a két egyenes egymásra merőleges, vagyis a C'BD' szög derékszög. Másként fogalmazva, a B pont a C'D' szakasz Thalesz-körére illeszkedik, tehát a BC'D' kör merőlegesen metszi a C'D' egyenest. Így a BC'D' kör -nél vett képe, ami nem más, mint a BCD kör, szintén merőlegesen metszi az ACD kört, ami a C'D' egyenes képe.

Statisztika:

23 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Bodor Bertalan, Dinh Hoangthanh Attila, Fonyó Dávid, Hajdók Soma, Keresztfalvi Tibor, Kiss 902 Melinda Flóra, Mészáros András, Mezei Márk, Milánkovich Dorottya, Nagy 648 Donát, Pálfi Bence, Popper Dávid.
3 pontot kapott:	Frankl Nóra, Huszár Kristóf, Szenczi Zoltán.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2009. áprilisi matematika feladatai