 |
A B. 4181. feladat (2009. április) |
B. 4181. Egy tetraéder szemköztes élei egyenlő hosszúak és páronként ugyanakkora szöget zárnak be. Igazoljuk, hogy a tetraéder szabályos.
(4 pont)
A beküldési határidő 2009. május 15-én LEJÁRT.
Megoldás: Legyen a tetraéder egyik csúcsa O, a másik három pedig A,B,C. Tekintsük azon X,Y,Z pontokat, amelyekre
ekkor ,
és
. Ezek szerint az A,B,C pontok O-val másodszomszédos csúcsai annak a parallelepipedonnak, amelynek egyik csúcsa O, annak szomszédai pedig X,Y és Z. A tetraéder élei ennek a parallelepipedonnak lapátlói lesznek. A szemközti élek egyenlősége azt jelenti, hogy a parallelepipeon lapjai olyan parallelogrammák, melyek mindegyikében a két átló egyforma hosszú. Más szóval, a parallelepipeon lapjai téglalapok, a szögek egyenlőségéből pedig arra következtethetünk, hogy ezek a lapok egybevágóak. Innen már könnyű látni, hogy a parallelepipeon csakis kocka lehet, a tetraéder pedig valóban szabályos.
Statisztika:
31 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Csizmadia Luca, Dunay Luca, Frankl Nóra, Győrfi 946 Mónika, Janosov Milán, Jernei Tamás, Kovács 235 Gábor, Márkus Bence, Mészáros András, Milánkovich Dorottya, Németh Bence, Perjési Gábor, Tóth 222 Barnabás, Varga 171 László, Vuchetich Bálint. 3 pontot kapott: Bősze Zsuzsanna, Cséke Balázs, Gyarmati Máté, Kiss Boldizsár, Lajos Mátyás, Nagy 111 Miklós, Nguyen Milán, Strenner Péter, Szenczi Zoltán. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 3 dolgozat.
A KöMaL 2009. áprilisi matematika feladatai