Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4182. feladat (2009. május)

B. 4182. Egy t területű derékszögű háromszög átfogójának végpontjai egy ellipszis fókuszpontjaiba esnek, harmadik csúcsa pedig az ellipszisre illeszkedik. Igazoljuk, hogy az ellipszis területe legalább $\sqrt{2}\pi t$ .

(3 pont)

A beküldési határidő 2009. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyenek a háromszög befogói a és b, az ellipszis fókuszpontjai F₁,F₂, középpontja O, nagy-, illetve kistengelyének egyik végpontja pedig N és K. Az ellipszis mértani helyként történő megadása alapján az ellipszis nagytengelye n=F₁N+F₂N=a+b, a kistengely hosszát pedig az F₁OK derékszögű háromszögből így számolhatjuk ki: $F_1O=\sqrt{a^{2}+b^{2}}/2$ , F₁K=(a+b)/2, $k=2OK=2\sqrt{F_1K2-F_1O2}=\sqrt{2ab}$ . Így a számtani- és mértani közepek között fennálló egyenlőtlenség alapján az ellipszis területe

$T=\frac{\pi}{4}nk\ge \frac{\pi}{4}\cdot2\sqrt{ab}\cdot\sqrt{2ab}=\frac{\pi}{\sqrt{2}}\cdot ab=\sqrt{2}\pi t,$

ahol egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha a háromszög egyenlő szárú.

Statisztika:

70 dolgozat érkezett.

3 pontot kapott: 55 versenyző.

2 pontot kapott: 2 versenyző.

1 pontot kapott: 5 versenyző.

0 pontot kapott: 4 versenyző.

Nem versenyszerű: 4 dolgozat.

A KöMaL 2009. májusi matematika feladatai

70 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	55 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.