A B. 4190. feladat (2009. május)

B. 4190. Hat egybevágó kockából az ábrán látható testet ragasztottuk össze. Kitölthető-e a tér hézagmentesen és átfedések nélkül ennek a testnek egybevágó példányaival?

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyenek a kockák élei egységnyi hosszúságúak. Rögzítsünk a térben egy derékszögű koordinátarendszert, és tekintsük ebben az

\(\displaystyle A_0(0;0;0), A_1(1;0;0), A_2(0;1;0), A_3(0;0;1), A_4(0;-1;0), A_5(-1;0;0)\)

pontokat. Tetszőleges \(\displaystyle v(x;y;z)\) vektor esetén tekintsük az

\(\displaystyle {\mathcal X}_v=\{A_0+v,A_1+v,A_2+v,A_3+v,A_4+v,A_5+v\}\)

halmazt, ezek nyilván páronként egybevágó halmazok. Ha \(\displaystyle x,y,z\) olyan egész számok, amelyekre \(\displaystyle x+2y+3z\) osztható 6-tal, akkor tetszőleges \(\displaystyle i\)-re teljesül, hogy az \(\displaystyle A_i+v\) pont \(\displaystyle x',y',z'\) kordinátáira az \(\displaystyle x'+2y'+3z'\) szám 6-tal osztva éppen \(\displaystyle i\) maradékot ad. Az is könnyen ellenőrizhető, hogy tetszőleges \(\displaystyle x',y',z'\) egész számok esetén, ha \(\displaystyle x'+2y'+3z'\) 6-tal osztva \(\displaystyle i\) maradékot ad, akkor van pontosan egy olyan \(\displaystyle v(x;y;z)\) vektor, melynek koordinátái egészek, \(\displaystyle x+2y+3z\) 6-tal osztható, és az \(\displaystyle A_i+v\) pont koordinátái éppen \(\displaystyle x',y',z'\). Ez éppen azt jelenti, hogy azon \(\displaystyle {\mathcal X_v}\) halmazok, ahol \(\displaystyle x,y,z\) olyan egész számok, amelyekre \(\displaystyle x+2y+3z\) osztható 6-tal, együttesen tartalmazzák az összes rácspontot, mégpedig minden rácspont ezen halmazok közül pontosan egyhez tartozik hozzá. Mármost ha minden egyes megfelelő \(\displaystyle v\) vektorra a szóban forgó test egy példányát úgy helyezzük el a térben, hogy az őt felépítő kis kockák középpontjai az \(\displaystyle {\mathcal X_v}\) halmaz elemeivel essenek egybe (ami nyilván megtehető), akkor ezek a példányok hézagmentesen és átfedések nélkül fogják a teret kitölteni.

Statisztika:

45 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Beke Lilla, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Csizmadia Luca, Damásdi Gábor, Deák Zsolt, Dinh Hoangthanh Attila, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Fonyó Dávid, Huszár Kristóf, Kiss 902 Melinda Flóra, Kiss Boldizsár, Kovács 888 Adrienn, Kovács 999 Noémi, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Mester Márton, Mészáros András, Mezei Márk, Nagy 111 Miklós, Nagy Róbert, Palincza Richárd, Perjési Gábor, Somogyi Ákos, Varga 171 László, Vuchetich Bálint, Weisz Ágoston.
4 pontot kapott:	Baranyai Zoltán, Csere Kálmán, Frankl Nóra, Keresztfalvi Tibor, Nagy 648 Donát, Neukirchner Elisabeth, Nguyen Milán, Paripás Viktor.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2009. májusi matematika feladatai