 |
A B. 4191. feladat (2009. május) |
B. 4191. Mely a, b, c pozitív egész számok esetén igaz az, hogy 2a-1 osztható b-vel, 2b-1 osztható c-vel és 2c-1 osztható a-val?
(5 pont)
A beküldési határidő 2009. június 15-én LEJÁRT.
Megoldás. A feltételeket \(\displaystyle a=b=c=1\) nyilván kielégíti. Megmutatjuk, hogy ezen kívül a feladatnak nincsen más megoldása. Tegyük fel ugyanis, hogy létezik olyan prímszám, amely az \(\displaystyle a,b,c\) számok közül valamelyiknek osztója, és legyen \(\displaystyle p\) a lehető legkisebb ezek közül. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy \(\displaystyle p\mid a\). Ekkor \(\displaystyle p\mid 2^c-1\) is teljesül, vagyis \(\displaystyle 2^c\equiv 1\pmod{p}\). Jelölje \(\displaystyle n\) a legkisebb olyan pozitív egész számot, amelyre \(\displaystyle 2^n\equiv 1\pmod{p}\) teljesül. Ilyen szám tehát létezik, és nyilván nagyobb, mint 1. A kis Fermat-tétel miatt \(\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1\pmod{p}\) is fennáll. Nem nehéz megmutatni, hogy ha egy \(\displaystyle x\) pozitív egész számra \(\displaystyle 2^x\equiv 1\pmod{p}\) teljesül, akkor \(\displaystyle x\) osztható kell legyen \(\displaystyle n\)-nel. Ezért \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle p-1\) is osztható \(\displaystyle n\)-nel, tehát van közös prímosztójuk. Ez azonban ellentmond \(\displaystyle p\) választásának.
Statisztika:
24 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Ágoston Tamás, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Éles András, Huszár Kristóf, Kiss 902 Melinda Flóra, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Mester Márton, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Somogyi Ákos, Varga 171 László. 4 pontot kapott: Dudás 002 Zsolt, Fonyó Dávid, Strenner Péter, Tuan Nhat Le, Weisz Ágoston. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2009. májusi matematika feladatai