 |
A B. 4206. feladat (2009. október) |
B. 4206. Legyen p>3 prímszám, k és m pedig nemnegatív egész számok. Igazoljuk, hogy pk+pm nem lehet négyzetszám.
Javasolta: Kutas Péter
(3 pont)
A beküldési határidő 2009. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Feltehetjük, hogy \(\displaystyle k\le m\), ekkor \(\displaystyle p^k+p^m=p^k(p^{m-k}+1)\), ahol mindkét tényező pozitív egész. A második tényező csak \(\displaystyle m-k=0\), \(\displaystyle p=2\) esetén lehetne osztható \(\displaystyle p\)-vel. A szám tehát csak úgy lehetne négyzetszám, ha \(\displaystyle k\) páros, és \(\displaystyle p^{m-k}+1=n^2\) teljesül egy alkalmas \(\displaystyle n>1\) egész számmal. Ekkor \(\displaystyle p^{m-k}=n^2-1=(n-1)(n+1)\). Ez csak úgy lehet, ha \(\displaystyle n-1\) és \(\displaystyle n+1\) is \(\displaystyle p\)-hatvány, de mivel nem lehet mindkettő \(\displaystyle p\)-vel osztható, ez csak az \(\displaystyle n-1=1\), \(\displaystyle p^{m-k}=3\) esetben fordulhatna elő, amit azonban kizár a \(\displaystyle p>3\) feltétel.
Statisztika:
132 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 81 versenyző. 2 pontot kapott: 11 versenyző. 1 pontot kapott: 21 versenyző. 0 pontot kapott: 14 versenyző. Nem versenyszerű: 5 dolgozat.
A KöMaL 2009. októberi matematika feladatai