 |
A B. 4246. feladat (2010. február) |
B. 4246. Az \(\displaystyle x^3 - (a+2)x^2 + (2a+1)x - a = 0\) egyenlet \(\displaystyle x_1\), \(\displaystyle x_2\), \(\displaystyle x_3\) gyökeire
\(\displaystyle \frac{2}{x_1} + \frac{2}{x_2} = \frac{3}{x_3} \)
teljesül. Oldjuk meg az egyenletet.
(Tanárképző főiskolák matematika versenye, 1975/2)
(4 pont)
A beküldési határidő 2010. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Írjuk fel a gyökök és együtthatók közötti
összefüggéseket: (i) \(\displaystyle x_1+x_2+x_3=a+2\), (ii) \(\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=2a+1\), (iii) \(\displaystyle x_1x_2x_3=a\). Mivel egyik gyök sem 0, azért \(\displaystyle a\ne 0\), és így a feltétel szerint
\(\displaystyle \frac{5}{x_3}=\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}+\frac{2}{x_3}= 2\cdot\frac{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3}{x_1x_2x_3}=\frac{4a+2}{a},\)
ahonnan kapjuk, hogy \(\displaystyle 4a+2\ne 0\) és
\(\displaystyle x_3=\frac{5a}{4a+2}.\)
Innen (iii), illetve (i) alapján
\(\displaystyle x_1x_2=\frac{a}{x_3}=\frac{4a+2}{5}\qquad \hbox{és}\qquad x_1+x_2=a+2-x_3=\frac{4a^2+5a+4}{4a+2}\)
adódik. Ezeket (ii)-be beírva kapjuk, hogy
\(\displaystyle \frac{4a+2}{5}+\frac{4a^2+5a+4}{4a+2}\cdot\frac{5a}{4a+2}=2a+1,\)
ahonnan \(\displaystyle 4a^3-19a^2+28a-12=0\). Ha észrevesszük, hogy ennek az egyenletnek egyik gyöke \(\displaystyle a=2\), akkor a baloldal már szorzattá alakítható:
\(\displaystyle 4a^3-19a^2+28a-12=(a-2)(4a^2-11a+6)=(a-2)(a-2)(4a-3),\)
vagyis \(\displaystyle a\) értéke csak 2 vagy 3/4 lehet, a megfelelő \(\displaystyle x_3\) érték pedig \(\displaystyle x_3=1\), illetve \(\displaystyle x_3=3/4\). Az első esetben az egyenlet
\(\displaystyle 0=x^3-4x^2+5x-2=(x-1)(x^2-3x+2)=(x-1)(x-1)(x-2)\)
alakú, ahonnan \(\displaystyle \{x_1,x_2\}=\{1,2\}\). A második esetben az egyenlet
\(\displaystyle 0=x^3-\frac{11}{4}\cdot x^2+\frac{5}{2}\cdot x-\frac{3}{4}= \left(x-\frac{3}{4}\right)(x^2-2x+1)=\left(x-\frac{3}{4}\right)(x-1)^2,\)
ahonnan \(\displaystyle x_1=x_2=1\). A feladat feltétele mind a két esetben teljesül.
Megjegyzés. Lényegesen kevesebb számolással célba érünk, ha észrevesszük, hogy az egyenlet gyökei \(\displaystyle \{x_1,x_2,x_3\}=\{1,1,a\}\).
Statisztika:
95 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 73 versenyző. 3 pontot kapott: 9 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 9 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2010. februári matematika feladatai