A B. 4247. feladat (2010. február)

B. 4247. Egy kocka két lapja ABCD és ABEF. Jelölje M, illetve N az AC, illetve FB lapátló egy-egy olyan pontját, amelyekre AM=FN. Mi az MN szakasz felezőpontjának mértani helye?

(3 pont)

A beküldési határidő 2010. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A tér egy tetszőleges \(\displaystyle P\) pontjának helyvektorát jelölje \(\displaystyle p\). Ekkor az \(\displaystyle AF\) él \(\displaystyle X\) és a \(\displaystyle BC\) él \(\displaystyle Y\) felezőpontjának helyvektora

\(\displaystyle x=\frac{a+f}{2},\qquad \hbox{illetve}\qquad y=\frac{b+c}{2}.\)

Minthogy \(\displaystyle AC=BF\), ha valamely \(\displaystyle 0\le \lambda \le 1\) esetén \(\displaystyle M\) az \(\displaystyle AC\) lapátlót \(\displaystyle \lambda:(1-\lambda)\) arányban osztó pont, akkor az \(\displaystyle N\) pont az \(\displaystyle FB\) lapátlót szintén \(\displaystyle \lambda:(1-\lambda)\) arányban osztja, és viszont. Ekkor az \(\displaystyle MN\) szakasz \(\displaystyle Z\) felezőpontjára

\(\displaystyle z=\frac{m+n}{2}=\frac{((1-\lambda)a+\lambda c)+((1-\lambda)f+\lambda b)}{2}=(1-\lambda)\cdot\frac{a+f}{2}+\lambda\cdot\frac{b+c}{2},\)

vagyis \(\displaystyle z=(1-\lambda)x+\lambda y\), tehát ekkor \(\displaystyle Z\) is \(\displaystyle \lambda:(1-\lambda)\) arányban osztja az \(\displaystyle XY\) szakaszt. Ezért a keresett mértani hely éppen az \(\displaystyle XY\) szakasz.

Statisztika:

76 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	51 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2010. februári matematika feladatai