A B. 4250. feladat (2010. február)

B. 4250. Legyen a derékszögű koordinátarendszerben az ABCDEF szabályos hatszög középpontja az O origó, A csúcsa pedig a (0;1) pont. Jelölje $\mathcal{H}_1$ az ACE, $\mathcal{H}_2$ pedig a BDF szabályos háromszöglemezt. Határozzuk meg azon P pontok halmazát, amelyekre az $\overrightarrow{OP}$ vektor előállítható $\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2}$ alakban, ahol $P_1\in \mathcal{H}_1$ és $P_2\in \mathcal{H}_2$ .

(4 pont)

A beküldési határidő 2010. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A $\displaystyle BF$ szakaszt az $\displaystyle \overrightarrow{OA}$ vektorral eltolva az $\displaystyle XY$ szakaszt kapjuk, ahol $\displaystyle X(\sqrt{3}/2;3/2)$ és $\displaystyle Y(-\sqrt{3}/2;3/2)$. Az $\displaystyle XY$ szakasz pontjai tehát a keresett $\displaystyle \mathcal{H}$ halmazhoz tartoznak. Szimmetria okok miatt az $\displaystyle O$ középpontú $\displaystyle XYZUVW$ szabályos hatszög kerületének minden pontja $\displaystyle \mathcal{H}$-hoz tartozik.

A $\displaystyle \mathcal{H}$ halmaz nyilván konvex, hiszen ha $\displaystyle P,Q\in\mathcal{H}$, vagyis alkalmas $\displaystyle P_i,Q_i\in\mathcal{H}_i$ pontokkal $\displaystyle \overrightarrow{OP}= \overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2}$ és $\displaystyle \overrightarrow{OQ}= \overrightarrow{OQ_1}+\overrightarrow{OQ_2}$, akkor minden $\displaystyle 0\le \lambda\le 1$ szám esetén a $\displaystyle \mathcal{H}_i$ halmazok konvex volta miatt

$\displaystyle \lambda\overrightarrow{OP}+(1-\lambda)\overrightarrow{OQ}= \left(\lambda\overrightarrow{OP_1}+(1-\lambda)\overrightarrow{OQ_1}\right)+ \left(\lambda\overrightarrow{OP_2}+(1-\lambda)\overrightarrow{OQ_2}\right) \in \mathcal{H}.$

Ezért a keresett $\displaystyle \mathcal{H}$ halmaz az $\displaystyle XYZUVW$ hatszöglemez minden pontját tartalmazza.

Másrészről $\displaystyle \mathcal{H}_1$, illetve $\displaystyle \mathcal{H}_2$ minden pontjának második koordinátája legfeljebb 1, illetve 1/2, vagyis $\displaystyle \mathcal{H}$ egyetlen pontja sem eshet az $\displaystyle XY$ egyenes fölé. Ugyanígy elmondható, hogy $\displaystyle \mathcal{H}$ minden pontja az $\displaystyle XYZUVW$ hatszög bármely oldalegyenesének az origót tartalmazó oldalára esik, vagyis a keresett $\displaystyle P$ pontok halmaza megegyezik az $\displaystyle XYZUVW$ szabályos hatszöglemezzel.

Statisztika:

57 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: Ágoston Tamás, Árvay Balázs, Barczel Nikolett, Beke Lilla, Böőr Katalin, Bősze Zsuzsanna, Csere Kálmán, Éles András, Énekes Péter, Janzer Olivér, Karkus Zsuzsa, Köpenczei Gergő, Lajos Mátyás, Máthé László, Mészáros András, Mihálka Éva Zsuzsanna, Nagy 111 Miklós, Nagy Balázs, Nagy Róbert, Nguyen Milán, Ódor Gergely, Rábai Domonkos, Sándor Áron Endre, Sieben Bertilla, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Varga Vajk, Varju 105 Tamás, Veitz Kristóf Tamás, Weimann Richárd, Weisz Ágoston, Weisz Gellért, Zahemszky Péter, Zsakó András.

3 pontot kapott: Bauer Barbara, Győrfi 946 Mónika, Hosszejni Darjus, Keresztfalvi Tibor, Remete László, Szenczi Zoltán, Tóth 222 Barnabás.

2 pontot kapott: 7 versenyző.

1 pontot kapott: 6 versenyző.

0 pontot kapott: 3 versenyző.

A KöMaL 2010. februári matematika feladatai

57 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Árvay Balázs, Barczel Nikolett, Beke Lilla, Böőr Katalin, Bősze Zsuzsanna, Csere Kálmán, Éles András, Énekes Péter, Janzer Olivér, Karkus Zsuzsa, Köpenczei Gergő, Lajos Mátyás, Máthé László, Mészáros András, Mihálka Éva Zsuzsanna, Nagy 111 Miklós, Nagy Balázs, Nagy Róbert, Nguyen Milán, Ódor Gergely, Rábai Domonkos, Sándor Áron Endre, Sieben Bertilla, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Varga Vajk, Varju 105 Tamás, Veitz Kristóf Tamás, Weimann Richárd, Weisz Ágoston, Weisz Gellért, Zahemszky Péter, Zsakó András.
3 pontot kapott:	Bauer Barbara, Győrfi 946 Mónika, Hosszejni Darjus, Keresztfalvi Tibor, Remete László, Szenczi Zoltán, Tóth 222 Barnabás.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?