 |
A B. 4258. feladat (2010. március) |
B. 4258. Adott az ABC háromszög és az e egyenes. Az e melyik P pontjára lesz a PA2+2PB2+3PC2 távolság a legkisebb?
(3 pont)
A beküldési határidő 2010. április 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Az \(\displaystyle A,B,C\) pontokat az \(\displaystyle e\) egyenesre merőlegesen vetítve, a kapott pontokat jelölje rendre \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\), \(\displaystyle C_1\). A Pithagorasz-tétel szerint
\(\displaystyle PA^2+2PB^2+3PC^2=(PA_1^2+2PB_1^2+3PC_1^2)+(AA_1^2+2BB_1^2+3CC_1^2).\)
Az \(\displaystyle e\) egyenest a számegyenessel azonosítva, az \(\displaystyle A_1,B_1,C_1\) pontok koordinátája legyen rendre \(\displaystyle a,b,c\), az ismeretlen \(\displaystyle P\) pont koordinátája pedig \(\displaystyle x\). A szóban forgó összeg nyilván akkor a legkisebb, amikor
\(\displaystyle PA_1^2+2PB_1^2+3PC_1^2=(x-a)^2+2(x-b)^2+3(x-c)^2\)
értéke a lehető legkisebb. A kifejezést:
\(\displaystyle 6\Bigl(x-\frac{a+2b+3c}{6}\Bigr)^2+(a^2+2b^2+3c^2)-\frac{(a+2b+3c)^2}{6}\)
alakra hozva látható, hogy ez éppen
\(\displaystyle x=\frac{a+2b+3c}{6}=\frac{\frac{a+c}{2}+b+c}{3}\)
esetén következik be, vagyis ha a \(\displaystyle P\) pont éppen az \(\displaystyle FBC\) háromszög súlypontjának az \(\displaystyle e\) egyenesre eső merőleges vetülete, ahol \(\displaystyle F\) az \(\displaystyle AC\) szakasz felezőpontját jelöli.
Statisztika:
44 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: Beke Lilla, Boér Lehel, Bogár Blanka, Böőr Katalin, Cséke Balázs, Csere Kálmán, Csizmadia Luca, Dunay Luca, Éles András, Hajnal Máté, Hegedűs Csaba, Hosszejni Darjus, Jenei Tamás, Jernei Tamás, Keresztfalvi Tibor, Kovács 235 Gábor, Nagy Róbert, Németh Bence, Orsós Ferenc, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Szakács Enikő, Tekeli Tamás, Tóth 222 Barnabás, Trauttwein Klaudia, Uray Marcell János, Varga Vajk, Varju 105 Tamás, Weisz Ágoston, Zahemszky Péter, Zelena Réka, Zsakó András. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2010. márciusi matematika feladatai