A B. 4260. feladat (2010. március)

B. 4260. Oldjuk meg a

egyenletrendszert.

(4 pont)

A beküldési határidő 2010. április 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Emeljük négyzetre mindkét egyenletet, majd az így kapott két egyenletet adjuk össze. Figyelembe véve, hogy bármely \(\displaystyle \alpha,\beta\) esetén \(\displaystyle \cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\) és \(\displaystyle \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha \sin\beta=\cos(\alpha-\beta)\), innen a

\(\displaystyle \cos(x-y)+\cos(x-z)+\cos(y-z)=3\)

egyenletre jutunk, ami csak úgy teljesülhet, ha

\(\displaystyle \cos(x-y)=\cos(x-z)=\cos(y-z)=1,\)

vagyis ha \(\displaystyle x,y,z\) közül bármely kettő különbsége \(\displaystyle 2\pi\) egész számú többszöröse. Ekkor tehát

\(\displaystyle \cos x=\cos y=\cos z=\frac{\sqrt{3}}{2}\quad \text{és}\quad \sin x =\sin y =\sin z =\frac{1}{2},\)

vagyis alkalmas \(\displaystyle k, \ell, m\) egész számokkal

\(\displaystyle x=\frac{\pi}{6}+2k\pi,\quad y=\frac{\pi}{6}+2\ell\pi,\quad z=\frac{\pi}{6}+2m\pi,\)

mely szögek nyilván ki is elégítik az egyenletrendszert.

Statisztika:

77 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	52 versenyző.
3 pontot kapott:	14 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2010. márciusi matematika feladatai