A B. 4263. feladat (2010. április)

B. 4263. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:

x³+4y=y³+16x,

(4 pont)

A beküldési határidő 2010. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A második egyenlet szerint \(\displaystyle y^2=5x^2+4\). Ha az első egyenletet \(\displaystyle y(y^2-4)=x(x^2-16)\) alakra hozzuk, akkor behelyettesítés után az \(\displaystyle 5x^2y=x(x^2-16)\) egyenletre jutunk. Az \(\displaystyle x=0\) esetben \(\displaystyle y^2=4\), vagyis \(\displaystyle y=\pm 2\), ellenkező esetben az

\(\displaystyle y=\frac{x^2-16}{5x},\qquad 5x^2+4=y^2=\left(\frac{x^2-16}{5x}\right)^2\)

összefüggésre jutunk, ahonnan \(\displaystyle (x^2-16)^2=25x^2(5x^2+4)\). Az \(\displaystyle x^2=t\) helyettesítéssel ez a \(\displaystyle 124t^2+132t-256=0\) másodfokú egyenletre vezet, melynek egyik megoldása \(\displaystyle t=1\), a másik viszont negatív, ezért nem jöhet szóba. Innen \(\displaystyle x=\pm 1\), \(\displaystyle y=\pm 3\) adódik. Ellenőrzés után kiderül, hogy az egyenletrendszert csak a következő négy \(\displaystyle (x;y)\) számpár elégíti ki: \(\displaystyle (0;2)\), \(\displaystyle (0;-2)\), \(\displaystyle (1;-3)\), \(\displaystyle (-1;3)\).

Statisztika:

99 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	61 versenyző.
3 pontot kapott:	17 versenyző.
2 pontot kapott:	15 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2010. áprilisi matematika feladatai