A B. 4268. feladat (2010. április)

B. 4268. Határozzuk meg tizedestört alakjában a tizedesvessző utáni hatodik számjegyet.

(4 pont)

A beküldési határidő 2010. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle a=\sqrt{2010}\), \(\displaystyle b=\big[\sqrt{2010}\,\big]\). Mivel \(\displaystyle 44^2<2010<44,85^2\), látható, hogy \(\displaystyle 44<a<44,85\), \(\displaystyle b=44\), és \(\displaystyle 0<a-b<0,85\). A binomiális tétel szerint

\(\displaystyle N=(a+b)^{100}+(a-b)^{100}=2\cdot\sum_{i=0}^{50}{100\choose 2i}a^{2i}b^{100-2i}\)

egész szám. Minthogy pedig \(\displaystyle 0<(a-b)^5<0,85^5<0,5\), kapjuk, hogy

\(\displaystyle 0<(a-b)^{100}<\frac{1}{2^{20}}<\frac{1}{1024^2}<10^{-6},\)

vagyis \(\displaystyle N>(a+b)^{100}> N-10^{-6}\). Ezért \(\displaystyle (a+b)^{100}\) tizedestört alakjában a tizedesvessző után hat darab kilences következik, a keresett számjegy 9.

Statisztika:

33 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Cséke Balázs, Csizmadia Luca, Csuka Róbert, Éles András, Hegedűs Csaba, Janzer Olivér, Márkus Bence, Mészáros András, Nagy 111 Miklós, Nagy Balázs, Nagy Róbert, Perjési Gábor, Popper Dávid, Repka 666 Dániel, Somogyi Ákos, Virágh Eszter, Vuchetich Bálint, Weisz Gellért, Zelena Réka, Zsakó András.
3 pontot kapott:	Dudás 002 Zsolt, Gyarmati Máté, Hajnal Máté, Jernei Tamás, Sándor Áron Endre, Strenner Péter, Szabó 928 Attila.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2010. áprilisi matematika feladatai