A B. 4275. feladat (2010. május)

B. 4275. Oldjuk meg a következő egyenletet:

\(\displaystyle x^{6}-x^{3}-2x^{2}-1=2(x-x^{3}+1)\sqrt{x}\,. \)

Javasolta: Pintér Ferenc (Nagykanizsa), Szoldatics József (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2010. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az \(\displaystyle a=\sqrt{x}\ge 0\) helyettesítéssel az egyenletet

\(\displaystyle a^{12}+2a^7-a^6-2a^4-2a^3-2a-1=0\)

alakra hozhatjuk. A bal oldali kifejezést könnyen szorzattá alakíthatjuk, ha különválasztjuk azokat a tagokat, amelyek foka nem osztható 3-mal: \(\displaystyle 2a^7-2a^4-2a=2a(a^6-a^3-1)\), míg az \(\displaystyle y^4-y^2-2y-1=(y^2-y-1)(y^2+y+1)\) azonosság alapján \(\displaystyle a^{12}-a^6-2a^3-1=(a^6-a^3-1)(a^6+a^3+1)\). így a nemnegatív \(\displaystyle a\) számra az

\(\displaystyle (a^6-a^3-1)(a^6+a^3+2a+1)=0\)

egyenletet kapjuk. Itt a második tényező mindenképpen pozitív, vagyis a nemnegatív \(\displaystyle b=a^3\) számra \(\displaystyle b^2-b-1=0\). A másodfokú egyenlet egyetlen nemnegatív gyökéből

\(\displaystyle b=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\quad a=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{\frac{1}{3}},\quad x=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{\frac{2}{3}}.\)

Statisztika:

28 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Bősze Zsuzsanna, Csere Kálmán, Dolgos Tamás, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Gyarmati Máté, Janzer Olivér, Jernei Tamás, Korondi Zénó, Mester Márton, Mészáros András, Nagy Balázs, Nagy Róbert, Perjési Gábor, Repka 666 Dániel, Sieben Bertilla, Somogyi Ákos, Szabó 928 Attila, Weisz Ágoston, Weisz Gellért, Zahemszky Péter, Zsakó András.
3 pontot kapott:	Boér Lehel, Tekeli Tamás.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2010. májusi matematika feladatai