A B. 4276. feladat (2010. május)

B. 4276. Mutassuk meg, hogy a háromszög bármelyik magassága legfeljebb akkora, mint a közrefogó oldalakhoz tartozó hozzáírt körök sugarának mértani közepe.

(4 pont)

A beküldési határidő 2010. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Szimmetria okok miatt elegendő az \(\displaystyle m_c^2\le R_aR_b\) egyenlőtlenséget igazolni, ahol \(\displaystyle m_c\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AB=c\) oldalához tartozó magasságát, \(\displaystyle R_a\) és \(\displaystyle R_b\) pedig a \(\displaystyle BC=a\), illetve \(\displaystyle AC=b\) oldalakhoz hozzáírt körök sugarát jelöli. Szokás szerint a háromszög területét jelölje \(\displaystyle t\), beírt körének sugarát \(\displaystyle r\), kerületének felét pedig \(\displaystyle s\). Mivel az \(\displaystyle A\) csúcs, a beírt kör középpontja és az \(\displaystyle a\) oldalhoz hozzáírt kör középpontja egyaránt az \(\displaystyle A\)-ból induló szögfelezőn helyezkedik el, továbbá e két kör az \(\displaystyle AB\) félegyenest az \(\displaystyle A\) csúcstól \(\displaystyle s-a\), illetve \(\displaystyle s\) távolságban érinti, \(\displaystyle R_a:r=s:(s-a)\), és hasonlóképpen \(\displaystyle R_b:r=s:(s-b)\). Ezért \(\displaystyle rs=t=cm_c/2\) miatt

\(\displaystyle \frac{R_aR_b}{m_c^2}=\frac{r^2s^2}{(s-a)(s-b)m_c^2}=\frac{c^2}{4(s-a)(s-b)}=\frac{c^2}{c^2-(a-b)^2}\ge 1.\)

Tehát valóban \(\displaystyle R_aR_b\ge m_c^2\), egyenlőség pedig pontosan akkor áll fenn, ha \(\displaystyle a=b\).

Statisztika:

57 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	55 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2010. májusi matematika feladatai