A B. 4277. feladat (2010. május)

B. 4277. Oldjuk meg az egész számok halmazán az \(\displaystyle x^{3}+y^{3}+1=x^{2}y^{2}\) egyenletet.

Javasolta: Surányi László (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle x,y\) egész számok kielégítik az egyenletet. A két szám bármely közös osztója osztja az \(\displaystyle x^2y^2-x^3-y^3=1\) számot, vagyis \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) relatív prímek. Szimmetria okok miatt elegendő az \(\displaystyle x\ge y\) esettel foglalkozni. Ha \(\displaystyle x<0\) lenne, akkor az egyenlet bal oldalán negatív, a jobb oldalán pozitív szám állna. Ha \(\displaystyle x=0\), akkor \(\displaystyle y^3+1=0\), \(\displaystyle y=-1\). Tegyük fel tehát, hogy \(\displaystyle x>0\), és hozzuk az egyenletet

\(\displaystyle y^2(x^2-y)=x^2y^2-y^3=x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\)

alakra.

Vizsgáljuk meg először az \(\displaystyle y\ge 0\) esetet. Ekkor \(\displaystyle x-1\ge y\ge 0\), ugyanis lévén \(\displaystyle x,y\) relatív prímek, \(\displaystyle x=y\) esetén \(\displaystyle x=y=1\) következne, ami nem ad megoldást. Tehát \(\displaystyle x^2-y\ge x^2-x+1>0\), vagyis szükégképpen \(\displaystyle y^2\le x+1\). Ha \(\displaystyle y^2\le x\) lenne, abból

\(\displaystyle y^2(x^2-y)\le x^3<x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\)

következne, vagyis \(\displaystyle y^2=x+1\), és ennek megfelelően \(\displaystyle x^2-y= x^2-x+1\), tehát \(\displaystyle y=x-1\). Innen \(\displaystyle (x-1)^2=x+1\), vagyis \(\displaystyle x=3\) következik, \(\displaystyle y\) értékére pedig 2 adódik.

Térjünk át az \(\displaystyle y<0\) eset vizsgálatára, ekkor \(\displaystyle -y>-x+1\), vagyis \(\displaystyle x^2-y> x^2-x+1>0\). Ezért most \(\displaystyle y^2< x+1\), vagyis \(\displaystyle y^2\le x\). Ha \(\displaystyle y^2\le x-1\) lenne, akkor \(\displaystyle -y\le y^2\) figyelembevételével

\(\displaystyle y^2(x^2-y)\le (x-1)(x^2+x-1)=x^3-2x+1<x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\)

lenne, ami nem lehetséges. Tehát \(\displaystyle y^2=x\) kell legyen. Minthogy \(\displaystyle x,y\) relatív prímek, ez csak \(\displaystyle x=1\), \(\displaystyle y=-1\) esetén lehetséges.

Az \(\displaystyle x\le y\) feltételt kielégítő megoldásokat \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) szerepének felcserélésével kaphatjuk meg. Ennek alapján a lehetséges \(\displaystyle (x;y)\) megoldáspárok: \(\displaystyle (0;-1)\), \(\displaystyle (3;2)\), \(\displaystyle (1;-1)\), \(\displaystyle (-1;0)\), \(\displaystyle (2;3)\) és \(\displaystyle (-1;1)\). Ezek mindegyike valóban megoldása az egyenletnek.

Statisztika:

20 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Éles András, Janzer Olivér, Karkus Zsuzsa, Máthé László, Mester Márton, Somogyi Ákos, Szabó 928 Attila, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2010. májusi matematika feladatai