A B. 4280. feladat (2010. május)

B. 4280. Az ABC háromszög k köréírt körén a C-t tartalmazó AB ív felezőpontja M. Az AB oldalhoz hozzáírt kör középpontja J. A J pontban a CJ szögfelezőre állított merőleges az AC egyenest D-ben, a BC egyenest E-ben metszi. Az MJ egyenes a k kört másodszor F-ben metszi. Igazoljuk, hogy a D, E, F pontokon átmenő kör érinti az AC és a BC egyeneseket, továbbá érinti k-t is.

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A háromszög szögeit a szokásos módon \(\displaystyle \alpha, \beta, \gamma\)-val jelölve, a kerületi szögek tétele szerint \(\displaystyle AMB\angle =ACB\angle=\gamma\), így az \(\displaystyle AMB\) és \(\displaystyle CDE\) egyenlőszárú háromszögekben

\(\displaystyle MAB\angle=MBA\angle=CDE\angle=CED\angle=\frac{\pi-\gamma}{2}.\)

Ugyancsak a kerületi szögek tétele szerint \(\displaystyle MFA\angle=MBA\angle=MAB\angle=MFB\angle\), vagyis

\(\displaystyle AFJ\angle=\pi-AFM\angle=\pi-ADJ\angle=\pi-BEJ\angle=\pi-BFM\angle=BFJ\angle.\)

Ezek alapján az \(\displaystyle ADJF\) és a \(\displaystyle BEJF\) négyszög is húrnégyszög. Minthogy \(\displaystyle J\) az \(\displaystyle A\)-ból és \(\displaystyle B\)-ből induló külső szögfelezők metszéspontja,

\(\displaystyle JAD\angle=JAB\angle=\frac{\pi-\alpha}{2},\quad JBE\angle=JBA\angle=\frac{\pi-\beta}{2}.\)

Lévén \(\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=\pi\), tudjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{\pi-\alpha}{2}+\frac{\pi-\beta}{2}+\frac{\pi-\gamma}{2}=\pi.\)

Ezért az \(\displaystyle ADJ\), \(\displaystyle AJB\) és \(\displaystyle JEB\) háromszögek hasonlók, és

\(\displaystyle DJA\angle=\frac{\pi-\beta}{2}, \quad AJB\angle=\frac{\pi-\gamma}{2}, \quad EJB\angle=\frac{\pi-\alpha}{2}.\)

Kihasználva, hogy \(\displaystyle ADJF\) és \(\displaystyle BEJF\) húrnégyszög, \(\displaystyle FAD\angle=\pi-FJD\angle=FJE\angle\), továbbá

\(\displaystyle AFD\angle=AJD\angle=\frac{\pi-\beta}{2}=JBE\angle.\)

Ez azt jelenti, hogy az \(\displaystyle ADF\) és \(\displaystyle JEF\) háromszögek is hasonlók, vagyis \(\displaystyle ADF\angle=JEF\angle=DEF\angle\). Az \(\displaystyle ADF\) szög tehát megegyezik a \(\displaystyle DEF\) körben a \(\displaystyle DF\) húrhoz tartozó kerületi szöggel, vagyis az \(\displaystyle AD\) egyenes érinti a \(\displaystyle DEF\) kört. Ezzel beláttuk, hogy a \(\displaystyle DEF\) kör érinti az \(\displaystyle AC\) egyenest, és ugyanígy a \(\displaystyle BC\) egyenest is.

Húzzunk most képzeletben érintőt az \(\displaystyle ABC\) és a \(\displaystyle DEF\) körhöz is az \(\displaystyle F\) pontban. Előbbi a \(\displaystyle BF\) húrral \(\displaystyle BAF\), utóbbi az \(\displaystyle EF\) húrral \(\displaystyle EDF\) szöget zár be. Annak belátásához, hogy a két kör \(\displaystyle F\)-ben érinti egymást, elegendő megmutatni, hogy a két érintő egyenes egybeesik, vagyis hogy \(\displaystyle BFE\angle=BAF\angle+EDF\angle\). Ismét kihasználhatjuk, hogy \(\displaystyle ADJF\) és \(\displaystyle BEJF\) húrnégyszög és hogy az \(\displaystyle ADF\) és \(\displaystyle JEF\) háromszögek hasonlók. Ezek alapján

\(\displaystyle BAF\angle+EDF\angle=BAF\angle+JAF\angle=BAJ\angle=JAD\angle=BJE\angle=BFE\angle,\)

ahogy azt bizonyítani kívántuk.

Statisztika:

10 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Éles András, Márkus Bence, Mester Márton, Mészáros András, Perjési Gábor.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2010. májusi matematika feladatai