 |
A B. 4293. feladat (2010. október) |
B. 4293. Három pozitív egész szám összege 2010, reciprokainak összege pedig . Melyek ezek a számok?
(Olasz versenyfeladat)
(5 pont)
A beküldési határidő 2010. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A keresett számokat jelölje \(\displaystyle x,y,z\); ekkor
\(\displaystyle x+y+z=2010,\qquad \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{xy+xz+yz}{xyz}=\frac{1}{58}.\)
Mivel a három szám összege osztható 3-mal, vagy páronként különböző maradékot adnak 3-mal osztva, vagy mind a három szám ugyanolyan maradékot ad. Az első esetben a fenti tört számlálója nem osztható 3-mal, a nevezője viszont igen, ez tehát nem lehetséges. Ha mindhárom szám ugyanazt a 0-tól különböző maradékot adja, akkor pedig a számláló lesz 3-mal osztható, de a nevező nem. Következésképpen alkalmas \(\displaystyle a,b,c\) pozitív egész számokkal \(\displaystyle x=3a\), \(\displaystyle y=3b\), \(\displaystyle z=3c\),
\(\displaystyle a+b+c=670,\qquad \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}= \frac{ab+ac+bc}{abc}=\frac{3}{58}.\)
Az \(\displaystyle a,b,c\) számok közül valamelyik osztható kell legyen 29-cel. Szimmetria okok miatt feltehetjük, hogy \(\displaystyle a=29k\) alkalmas \(\displaystyle k\) pozitív egész számmal. Ekkor a második egyenletet átrendezve az \(\displaystyle 58k(b+c)=(3k-2)bc\) összefüggésre jutunk. A jobb oldalon álló szorzat valamelyik tagja osztható kell legyen 29-cel. Mivel \(\displaystyle 29k<670\), kapjuk, hogy \(\displaystyle k\le 23\), \(\displaystyle 3k-2\le 67\). Ez a szám tehát csak akkor lehet osztható 29-cel, ha \(\displaystyle 3k-2=58\), \(\displaystyle k=20\), \(\displaystyle a=580\). Ekkor \(\displaystyle b+c=90\) és \(\displaystyle 1800=20(b+c)=bc\), vagyis \(\displaystyle \{b,c\}=\{30,60\}\). Innen kapjuk az \(\displaystyle \{x,y,z\}=\{90, 180, 1740\}\) megoldást.
A másik lehetőség szerint \(\displaystyle b\) vagy \(\displaystyle c\) osztható 29-cel. Tegyük fel, hogy alkalmas \(\displaystyle \ell\) pozitív egész számmal \(\displaystyle b=29\ell\), ekkor \(\displaystyle c=29m+3\), ahol \(\displaystyle m\) nemnegatív egész szám és
\(\displaystyle k+\ell+m=23,\qquad \frac{1}{29k}+\frac{1}{29\ell}+\frac{1}{29m+3}=\frac{3}{58}.\)
Nyilván \(\displaystyle m>0\) és a \(\displaystyle k,\ell,m\) számok közül nem lehet mindegyik legalább 2, mert akkor a bal oldalon 3/58-nál kisebb szám állna. Ha \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle \ell\) közül valamelyik, mondjuk \(\displaystyle k\) értéke 1 lenne, akkor
\(\displaystyle \frac{1}{29\ell}+\frac{1}{29m+3}=\frac{1}{58},\quad \frac{1}{29m+3}=\frac{1}{58}-\frac{1}{29\ell}=\frac{\ell-2}{58\ell},\)
vagyis \(\displaystyle 58{\ell}=(29m+3)(\ell-2)\) lenne, ami nem lehetséges, hiszen \(\displaystyle \ell\le 23\) miatt a jobb oldalon álló szorzat egyik tényezője sem osztható 29-cel. Ha pedig \(\displaystyle m\) értéke lenne 1, akkor \(\displaystyle \ell+k=22\) és
\(\displaystyle \frac{1}{29k}+\frac{1}{29\ell}=\frac{3}{58}-\frac{1}{32},\qquad \frac{22}{\ell k}=\frac{\ell+k}{\ell k}=\frac{1}{k}+\frac{1}{\ell}= \frac{3}{2}-\frac{29}{32}=\frac{19}{32}\)
lenne, ami szintén nem lehetséges, hiszen 32 és 22 is relatív prím a 19-hez. A keresett számok tehát 90, 180 és 1740.
Statisztika:
56 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Beke Lilla, Bogár Blanka, Bor Julianna, Dudás 002 Zsolt, Énekes Péter, Fonyó Viktória, Homonnay Bálint, Horváth János, Janzer Olivér, Lenger Dániel, Nagy 111 Miklós, Nagy Róbert, Németh Krisztián, Neukirchner Elisabeth, Perjési Gábor, Sieben Bertilla, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Tardos Jakab, Varnyú József, Veitz Kristóf Tamás, Zsakó András. 4 pontot kapott: Böőr Katalin, Damásdi Gábor, Hajnal Máté, Jankovics Éva, Kiss 542 Robin, Viharos Andor, Weimann Richárd, Weisz Gellért. 3 pontot kapott: 11 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző.
A KöMaL 2010. októberi matematika feladatai