 |
A B. 4297. feladat (2010. október) |
B. 4297. Mutassuk meg, hogy tetszőleges x, y valós számokra
(4 pont)
A beküldési határidő 2010. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Ha \(\displaystyle xy=1\), akkor a kifejezés értéke 0, egyébként pedig az \(\displaystyle x=\tg\alpha, y=\tg\beta\) helyettesítéssel \(\displaystyle \tg(\alpha+\beta)\) értelmes, és
\(\displaystyle 1+x^2=\frac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{1}{\cos^2\alpha},\ 1+y^2=\frac{1}{\cos^2\beta},\ \tg(\alpha+\beta)=\frac{x+y}{1-xy}.\)
Ekkor tehát
\(\displaystyle \frac{(x+y)(1-xy)}{(1+x^{2})(1+y^{2})}= \tg(\alpha+\beta)(1-\tg\alpha\tg\beta)^2\cos^2\alpha\cos^2\beta=\)
\(\displaystyle =\tg(\alpha+\beta)(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)^2= \sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha+\beta).\)
Mivel tetszőleges \(\displaystyle u,v\) valós számokra \(\displaystyle u^2+v^2\ge 2uv\) és \(\displaystyle u^2+v^2\ge -2uv\) is fennáll, kapjuk, hogy
\(\displaystyle |\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha+\beta)|\le \frac{1}{2}(\sin^2(\alpha+\beta)+ \cos^2(\alpha+\beta))=\frac{1}{2}.\)
Ez bizonyítja az állítást. A megoldásból az is leolvasható, hogy egyenlőség \(\displaystyle \sin(\alpha+\beta)=\pm\cos(\alpha+\beta)\) esetén áll fenn, vagyis ha \(\displaystyle \tg(\alpha+\beta)=\pm1\),
\(\displaystyle \arctg x+\arctg y\in \left\{-\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right\}.\)
Statisztika:
101 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Bősze Zsuzsanna, Dudás 002 Zsolt, Énekes Péter, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Halász Dániel, Hegedűs Csaba, Köpenczei Gergő, Máthé László, Németh Krisztián, Neukirchner Elisabeth, Perjési Gábor, Schultz Vera Magdolna, Sieben Bertilla, Szabó 928 Attila, Viharos Andor, Zahemszky Péter. 3 pontot kapott: 65 versenyző. 2 pontot kapott: 6 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 6 versenyző. Nem versenyszerű: 5 dolgozat.
A KöMaL 2010. októberi matematika feladatai