A B. 4298. feladat (2010. október)

B. 4298. Adott egy szabályos ötszög. Határozzuk meg azt a pontot, amelynek az ötszög csúcsaitól való távolságainak az összege minimális.

Csikós Balázs (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2010. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az ötszög középpontját jelölje \(\displaystyle O\). Ennek a csúcsoktól vett távolságösszege \(\displaystyle 5r\), ahol \(\displaystyle r\) az ötszög köré írható kör sugarának hossza. Tekintsünk egy tetszőleges \(\displaystyle P\ne O\) pontot; erre a pontra a szóban forgó összeget jelölje \(\displaystyle \sigma_P\). A \(\displaystyle P=P_1\) pontot \(\displaystyle O\) körül rendre \(\displaystyle 2\pi/5\), \(\displaystyle 4\pi/5\), \(\displaystyle 6\pi/5\) és \(\displaystyle 8\pi/5\) nagyságú szöggel elforgatva képezzük a \(\displaystyle P_2,P_3,P_4,P_5\) pontokat; ezek \(\displaystyle P_1\)-gyel együtt egy szabályos ötszög csúcsait alkotják. Jegyezzük meg, hogy a \(\displaystyle p_i=\overrightarrow{OP_i}\) vektorok összege nulla, hiszen az \(\displaystyle O\) pont körüli \(\displaystyle 2\pi/5\) szögű elforgatás az összeg tagjait ciklikusan permutálja.

A \(\displaystyle P_i\) pontokból az ötszög egy rögzített \(\displaystyle A\) csúcsába mutató \(\displaystyle a_i\) vektorok hosszának összege nyilván ugyanakkora, mint \(\displaystyle \sigma_P\). Minthogy \(\displaystyle p_i+a_i=\overrightarrow{OA}\),

\(\displaystyle \sum_{i=1}^5a_i=\sum_{i=1}^5p_i+\sum_{i=1}^5a_i=\sum_{i=1}^5(p_i+a_i)= 5\cdot\overrightarrow{OA}.\)

Ezért ha az \(\displaystyle a_i\) vektornak az \(\displaystyle OA\) egyenesre vett merőleges vetülete \(\displaystyle a_i'\), akkor \(\displaystyle \sum_{i=1}^5a_i'=5\cdot\overrightarrow{OA}\) is fennáll. Az \(\displaystyle a_i'\) vektor nyilván nem hosszabb, mint \(\displaystyle a_i\). Mivel pedig a \(\displaystyle P_i\) pontok közül legfeljebb egy esik az \(\displaystyle OA\) egyenesre, az \(\displaystyle a_i'\) vektorok közül legalább négy ténylegesen rövidebb, mint a neki megfelelő \(\displaystyle a_i\). Ezért a háromszög-egyenlőtlenség alapján

\(\displaystyle \sigma_P=\sum_{i=1}^5|a_i|>\sum_{i=1}^5|a_i'| \ge \left|\sum_{i=1}^5a_i'\right|=\left|5\cdot\overrightarrow{OA}\right|= 5\cdot\left|\overrightarrow{OA}\right|=5r.\)

Ez pedig azt jelenti, hogy a keresett pont egyértelműen létezik, és nem más, mint az ötszög középpontja.

Statisztika:

61 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Beke Lilla, Beleznay Soma, Dudás 002 Zsolt, Hegedűs Csaba, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Kiss 542 Robin, Nagy Róbert, Simig Dániel, Szabó 928 Attila, Tardos Jakab, Tossenberger Tamás, Varnyú József, Viharos Andor, Weisz Gellért.
3 pontot kapott:	Ágoston Péter, Damásdi Gábor, Fonyó Viktória, Győrfi 946 Mónika, Hopp Norbert, Incze Edit, Kaprinai Balázs, Kenéz Balázs, Lenger Dániel, Máthé László, Neukirchner Elisabeth, Zilahi Tamás.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	19 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2010. októberi matematika feladatai