A B. 4302. feladat (2010. november)

B. 4302. Egy szakasz katona úgy sorakozott fel egy egyenes mentén kelet-nyugati irányban, hogy minden katona észak felé néz. A parancsnok ,,jobbra át''-ot vezényel. Ezután minden katonának kelet felé kellene néznie, de -- mivel még a kiképzés elején tartanak -- néhány katona eltéveszti az irányt és nyugatra fordul. Minden olyan katona, aki most szemtől-szembe néz valamelyik szomszédjával, azt gondolja, hogy hibát követett el, ezért egy másodperces reakcióidő elteltével 180 fokos fordulatot hajt végre. Ha ezután megint lesznek szomszédos katonák, akik szembe kerülnek egymással, újabb egy másodperc elteltével ők is megfordulnak, és így tovább. Bizonyítsuk be, hogy egy idő után abbamarad a forgolódás.

(Matematikai Tehetségkutató Verseny, U.S.A.)

(3 pont)

A beküldési határidő 2010. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tegyük fel, hogy az állítással ellentétben van olyan katona, aki végtelen sokszor megfordul. A sor szélén álló katonák azonban csak legfeljebb egyszer fordulnak meg. Ezért kell legyen két szomszédos katona, amelyek egyike végtelen sokszor, másika pedig csak véges sokszor fordul meg, ami ellentmondás, hiszen a végtelen sokszor megforduló katona minden második megfordulásánál a szóban forgó szomszédjának is meg kell fordulnia.

Statisztika:

187 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	101 versenyző.
2 pontot kapott:	37 versenyző.
1 pontot kapott:	39 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2010. novemberi matematika feladatai