A B. 4344. feladat (2011. március)

B. 4344. Az ABCD szimmetrikus trapéz párhuzamos oldalainak hossza a és c. Szárainak felezőpontjai legyenek E és F. Az E pontnak a BC szár egyenesére eső merőleges vetülete legyen G. Mekkora a trapéz területe, ha a C pont a GF szakasz G-hez közelebbi harmadoló pontja?

(4 pont)

A beküldési határidő 2011. április 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A feladat szövege alapján világos, hogy az \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) pontok rendre az \(\displaystyle AD\), illetve a \(\displaystyle BC\) szár felezőpontjai, továbbá az \(\displaystyle AB\) alap hosszabb mint a \(\displaystyle CD\) alap. Ezek szerint \(\displaystyle a\ne c\). Tegyük fel, hogy \(\displaystyle a>c\). A szárak hossza legyen \(\displaystyle 4x\), ekkor \(\displaystyle FG=3x\). Ha a \(\displaystyle C\) csúcsnak az \(\displaystyle AB\) alapra eső merőleges vetülete \(\displaystyle H\), akkor \(\displaystyle EF=\frac{a+c}{2}\) és \(\displaystyle BH=\frac{a-c}{2}\). Az \(\displaystyle EFG\) és \(\displaystyle CBH\) derékszögű háromszögek hasonló volta miatt

\(\displaystyle 12x^2=CB\cdot FG=EF\cdot BH=\frac{a+c}{2}\cdot \frac{a-c}{2} =\frac{a^2-c^2}{4}.\)

Ezek alapján a trapéz területe

\(\displaystyle EF\cdot CH=EF\cdot\sqrt{CB^2-BH^2}= \frac{a+c}{2}\cdot \sqrt{(4x)^2-\left(\frac{a-c}{2}\right)^2}\)

\(\displaystyle =\frac{a+c}{2}\cdot \sqrt{\frac{a^2-c^2}{3}-\left(\frac{a-c}{2}\right)^2} =\frac{a+c}{2}\cdot \sqrt{\frac{a^2+6ac-7c^2}{12}}\)

\(\displaystyle =\sqrt{\frac{(a+c)^2(a+7c)(a-c)}{48}}.\)

Statisztika:

87 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	62 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2011. márciusi matematika feladatai