 |
A B. 4349. feladat (2011. március) |
B. 4349. Bizonyítsuk be, hogy ha egy négyszög lefedhető egységsugarú körlemezzel, akkor oldalainak szorzata nem nagyobb, mint 4.
Helyesbítés:
Bizonyítsuk be, hogy ha egy konvex négyszög lefedhető egységsugarú körlemezzel, akkor oldalainak szorzata nem nagyobb, mint 4.
(4 pont)
A beküldési határidő 2011. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Elegendő az állítást azokra az esetekre igazolni, amikor a négyszög összes csúcsa a körlemezt határoló \(\displaystyle k\) körvonalra esik. Ellenkező esetben ugyanis az \(\displaystyle n\) négyszöghöz található olyan négyszög, melynek mind a négy csúcsa \(\displaystyle k\)-ra illeszkedik, oldalainak szorzata pedig nagyobb, mint az \(\displaystyle n\) négyszög oldalainak szorzata. Ilyen négyszöget a következőképpen találhatunk. Először is mozgassuk el az \(\displaystyle n\) négyszöget a körlemezben úgy, hogy két csúcsa \(\displaystyle k\)-ra illeszkedjék. Az így kapott négyszög legyen \(\displaystyle n'\). Ha az \(\displaystyle n'\) négyszög \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\) átellenes csúcsai illeszkednek \(\displaystyle k\)-ra, de a \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle D\) csúcsok közül valamelyik nem, akkor azt a csúcsot az \(\displaystyle AC\) átlóra merőlegesen mozgassuk el a körvonalig; eközben a csúcsra illeszkedő oldalak hossza növekedni fog. Ha pedig az \(\displaystyle n'\) négyszög \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) szomszédos csúcsai illeszkednek \(\displaystyle k\)-ra, de a \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) csúcsok közül egyik sem, akkor a \(\displaystyle CD\) szakaszt az \(\displaystyle AB\) oldalra merőlegesen mozgassuk el addig, amíg valamelyik végpontja a körvonalra nem kerül; ekkor az \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle BC\) oldalak hossza növekedni fog, a másik kettőé pedig változatlan marad. Az így kapott \(\displaystyle n''\) négyszögnek pedig már lesz két átellenes csúcsa a körön, így arra az előző eljárást alkalmazhatjuk.
Tegyük fel tehát, hogy a négyszög csúcsai az egységsugarú \(\displaystyle k\) körvonalra esnek, az oldalakhoz tartozó középponti szögek fele legyen \(\displaystyle \alpha, \beta, \gamma, \delta\). Ha a négyszög nem tartalmazza a \(\displaystyle k\) kör középpontját, akkor a leghosszabb oldalához tartozó középponti szöget konkáv szögként értelmezzük. Ekkor \(\displaystyle \alpha+\beta+\gamma+\delta=\pi\). Mivel a szinusz függvény a \(\displaystyle [0,\pi]\) intervallumon konkáv, a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség és a Jensen-egyenlőtlenség értelmében az oldalak \(\displaystyle P\) szorzatára
\(\displaystyle P=(2\sin\alpha)(2\sin\beta)(2\sin\gamma)(2\sin\delta)\le 16\left(\frac{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma+\sin\delta}{4}\right)^4\le\)
\(\displaystyle \le 16\sin^4\left(\frac{\alpha+\beta+\gamma+\delta}{4}\right) =16\sin^4\left(\frac{\pi}{4}\right)=16\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^4=4.\)
Egyenlőség pedig pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle \alpha=\beta=\gamma=\delta=\pi/4\), vagyis a körlemezbe írt négyzet esetében.
Statisztika:
87 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 68 versenyző. 3 pontot kapott: 8 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 4 versenyző.
A KöMaL 2011. márciusi matematika feladatai