A B. 4368. feladat (2011. május)

B. 4368. Az ABC háromszög AB, BC, CA oldalain vegyük fel rendre a D, E és F pontokat úgy, hogy AD:DB=BE:EC=CF:FA1. Az AE, BF, CD egyenesek egymást a G, H, I pontokban metszik. Igazoljuk, hogy az ABC és GHI háromszögek súlypontja megegyezik.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(3 pont)

A beküldési határidő 2011. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az \(\displaystyle A,B,C\) pontok helyvektorait jelölje rendre \(\displaystyle {\bf a}, {\bf b}, {\bf c}\). Ha \(\displaystyle AD:DB=x:(1-x)\), akkor a \(\displaystyle D,E,F\) pontok helyvektorai \(\displaystyle (1-x){\bf a}+x{\bf b}\), \(\displaystyle (1-x){\bf b}+x{\bf c}\), \(\displaystyle (1-x){\bf c}+x{\bf a}\) lesznek. Az \(\displaystyle AE\) és \(\displaystyle BF\) egyenesek metszéspontjának helyvektora egyértelműen felírható \(\displaystyle \alpha{\bf a}+\beta{\bf b}+ \gamma{\bf c}\) alakban, ahol \(\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=1\). Itt az \(\displaystyle \alpha, \beta, \gamma\) együtthatók csak az \(\displaystyle x\) értékétől függenek. Ezeket akár ki is számolhatnánk, de ez teljesen felesleges, hiszen szimmetria okok miatt a másik két metszéspont helyvektora \(\displaystyle \beta{\bf a}+\gamma{\bf b}+\alpha{\bf c}\), illetve \(\displaystyle \gamma{\bf a}+\alpha{\bf b}+\beta{\bf c}\) lesz. Ennek alapján a \(\displaystyle GHI\) háromszög súlypontjának helyvektora

\(\displaystyle \frac{(\alpha{\bf a}+\beta{\bf b}+\gamma{\bf c})+ (\beta{\bf a}+\gamma{\bf b}+\alpha{\bf c})+ (\gamma{\bf a}+\alpha{\bf b}+\beta{\bf c})}{3} =\frac{{\bf a}+{\bf b}+{\bf c}}{3}\)

valóban megegyezik az \(\displaystyle ABC\) háromszög súlypontjának helyvektorával.

Statisztika:

21 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Ágoston Péter, Bősze Zsuzsanna, Bunth Gergely, Dinev Georgi, Győrfi 946 Mónika, Homonnay Bálint, Kenéz Balázs, Lenger Dániel, Sagmeister Ádám, Strenner Péter, Tekeli Tamás, Tran Trong Hoang Tuan, Weisz Gellért, Zahemszky Péter, Zsakó András.
2 pontot kapott:	Maga Balázs.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2011. májusi matematika feladatai