A B. 4369. feladat (2011. május)

B. 4369. A k₁, k₂ és k₃ körök mindegyike átmegy a P ponton, továbbá a k_i és k_j körök az M_i,j ponton is. Legyen A a k₁ kör tetszőleges pontja. Legyen k₄ az A-n és M_1,2-n, k₅ pedig A-n és M_1,3-on átmenő tetszőleges kör. Mutassuk meg, hogy ha k₄ és k₂, k₅ és k₃, valamint k₄ és k₅ második metszéspontjai rendre B, C és D, akkor az M_2,3, B, C, D pontok egy körön vagy egy egyenesen vannak.

(4 pont)

A beküldési határidő 2011. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Hallgatólagosan feltételezzük, hogy a szóban forgó körök és pontok különbözők (ha pl. az \(\displaystyle A\) pont egybeesne az \(\displaystyle M_{1,2}\) ponttal, akkor a \(\displaystyle k_4\) körnek érintenie kellene a \(\displaystyle k_1\) kört).

A jelölések alkalmas megváltoztatásával a feladatot a következő áttekinthetőbb formában is megfogalmazhatjuk:

Legyen \(\displaystyle l_1, l_2,l_3,l_4\) négy kör a síkon úgy hogy az \(\displaystyle l_5=l_1\) jelöléssel élve minden \(\displaystyle 1\le i\le 4\) esetén az \(\displaystyle l_i\) és \(\displaystyle l_{i+1}\) körök egymást az \(\displaystyle X_i,Y_i\) pontokban metszik. Ha az \(\displaystyle X_i\) pontok egy körön helyezkednek el, akkor az \(\displaystyle Y_i\) pontok is egy körön vagy egy egyenesen vannak.

A bizonyításhoz a novemberi B. 4308. feladat megoldásához hasonlóan érdemes lesz irányított szögekkel dolgozni, és felhasználni azt a tényt, hogy az egymástól különböző \(\displaystyle P,Q,R,S\) pontok akkor és csak akkor illeszkednek egy körre vagy egy egyenesre, ha modulo \(\displaystyle 180^\circ\) számolva \(\displaystyle PRQ\sphericalangle+QSP\sphericalangle=0\). Ennek megfelelően a továbbiakban az egyenlőséget mindig modulo \(\displaystyle 180^\circ\) értjük majd.

Mivel az \(\displaystyle Y_3Y_2Y_1, Y_1Y_2X_2\) és \(\displaystyle X_2Y_2Y_3\) szögek egymást teljes szöggé egészítik ki,

\(\displaystyle Y_3Y_2Y_1\sphericalangle=-Y_1Y_2X_2\sphericalangle-X_2Y_2Y_3\sphericalangle.\)

Felhasználva, hogy az \(\displaystyle X_1,X_2,Y_1,Y_2\) pontok az \(\displaystyle l_2\) körre, az \(\displaystyle X_2,X_3,Y_2,Y_3\) pontok pedig az \(\displaystyle l_3\) körre illeszkednek, kapjuk, hogy

\(\displaystyle Y_3Y_2Y_1\sphericalangle=-Y_1Y_2X_2\sphericalangle-X_2Y_2Y_3\sphericalangle=X_2X_1Y_1\sphericalangle+Y_3X_3X_2\sphericalangle.\)

A ciklikus szimmetria alapján hasonlóképpen

\(\displaystyle Y_1Y_4Y_3\sphericalangle=X_4X_3Y_3\sphericalangle+Y_1X_1X_4\sphericalangle.\)

A két egyenlőséget összeadva, a tagok átcsoportosítása után

\(\displaystyle Y_3Y_2Y_1\sphericalangle+Y_1Y_4Y_3\sphericalangle=(X_2X_1Y_1\sphericalangle+Y_1X_1X_4\sphericalangle)+ (X_4X_3Y_3\sphericalangle+Y_3X_3X_2\sphericalangle)=\)

\(\displaystyle =X_2X_1X_4\sphericalangle+X_4X_3X_2\sphericalangle=0,\)

hiszen feltettük, hogy az \(\displaystyle X_i\) pontok egy körre esnek. Ez pedig azt jelenti, hogy az \(\displaystyle Y_i\) pontok valóban egy körre vagy egy egyenesre esnek.

Statisztika:

12 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ágoston Péter, Bogár Blanka, Lajos Mátyás, Lenger Dániel, Máthé László, Medek Ákos, Simig Dániel, Weisz Gellért.
3 pontot kapott:	Damásdi Gábor, Dolgos Tamás, Hajnal Máté, Nagy Róbert.

A KöMaL 2011. májusi matematika feladatai