Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4376. feladat (2011. szeptember)

B. 4376. Igazoljuk, hogy ha x, y nemnegatív számok, akkor

x^4 + y^3 + x^2 + y + 1 >\frac{9}{2}xy.

Javasolta: Szoldatics József (Dunakeszi)

(4 pont)

A beküldési határidő 2011. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tetszőleges \(\displaystyle a,b\) valós számokra \(\displaystyle (a-b)^2\ge 0\) miatt teljesül \(\displaystyle a^2+b^2\ge 2ab\). Ezért \(\displaystyle x^4+1\ge 2x^2\), továbbáha \(\displaystyle y\) nemnegatív, akkor \(\displaystyle y^3+y=y(y^2+1)\ge y(2y)=2y^2\). Mindezek alapján

\(\displaystyle x^4 + y^3 + x^2 + y + 1\ge 3x^2+2y^2\ge 2(\sqrt{3}x)(\sqrt{2}y)> \frac{9}{2}xy,\)

hiszen \(\displaystyle xy\) nemnegatív és \(\displaystyle 2\sqrt{6}>9/2\).

Statisztika:

93 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:70 versenyző.
3 pontot kapott:7 versenyző.
2 pontot kapott:1 versenyző.
1 pontot kapott:5 versenyző.
0 pontot kapott:8 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

A KöMaL 2011. szeptemberi matematika feladatai