 |
A B. 4387. feladat (2011. október) |
B. 4387. Az ABCDEF húrhatszögben AB=BC, CD=DE és EF=FA. Bizonyítsuk be, hogy a BDF háromszög területe fele a hatszög területének.
(4 pont)
A beküldési határidő 2011. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Először is nem árt meggondolni, hogy a körülírt kör középpontja a sokszög belsejébe esik, ellenkező esetben ugyanis a sokszöget a kör középpontjától elválasztó oldalánál az összes többi oldal rövidebb lenne. Legyen a kör sugara egységnyi, középpontja legyen \(\displaystyle O\), az \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle CD\) és \(\displaystyle EF\) oldalakhoz tartozó középponti szögeket pedig jelölje rendre \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\), illetve \(\displaystyle \gamma\), ekkor \(\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=180^\circ\).
Az \(\displaystyle AOB\) és \(\displaystyle BOC\) háromszögek területe például ekkor \(\displaystyle (\sin \alpha)/{2}\). A hatszöget az \(\displaystyle O\) pontból hat háromszögre felbontva kapjuk, hogy a hatszög területe
\(\displaystyle T=\sin \alpha+\sin\beta+\sin\gamma\ .\)
Hasonlóképpen a \(\displaystyle BOD\) háromszög területe
\(\displaystyle \frac{\sin(\alpha+\beta)}{2}=\frac{\sin\gamma}{2}\ ,\)
hiszen \(\displaystyle \gamma=180^\circ-(\alpha+\beta)\). A \(\displaystyle BDF\) háromszöget az \(\displaystyle O\) pontból három háromszögre felbontva kapjuk, hogy a \(\displaystyle BDF\) háromszög területe
\(\displaystyle t=t_{BOD}+t_{DOF}+t_{FOB}=\frac{\sin\gamma}{2}+\frac{\sin\alpha}{2}+ \frac{\sin\beta}{2}=\frac{T}{2}\ .\)
Statisztika:
150 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 75 versenyző. 3 pontot kapott: 41 versenyző. 2 pontot kapott: 21 versenyző. 1 pontot kapott: 8 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző. Nem versenyszerű: 3 dolgozat.
A KöMaL 2011. októberi matematika feladatai