A B. 4389. feladat (2011. október)

B. 4389. Egy egyenesen adott négy pont: A, B, C és D ebben a sorrendben. Tekintsük az összes olyan egymást érintő körpárt, amelyek közül az egyik átmegy az A és a B, a másik a C és a D pontokon. Határozzuk meg az érintési pontok mértani helyét.

(4 pont)

A beküldési határidő 2011. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tekintsünk egy ilyen érintő körpárt. Az érintési pontot jelölje \(\displaystyle E\), ez nyilván nem eshet az adott egyenesre. Az \(\displaystyle E\) pontban a két kör kívülről érinti egymást. Ebben a pontban húzott közös érintőjük az egyenest a \(\displaystyle BC\) szakasz belsejében metszi, ezt a metszéspontot jelölje \(\displaystyle O\). Erre az \(\displaystyle O\) pontra fennáll, hogy \(\displaystyle OA\cdot OB=OE^2=OC\cdot OD\).

Nem nehéz kiszámolni, hogy az \(\displaystyle OA\cdot OB=OC\cdot OD\) feltételnek eleget tevő \(\displaystyle O\) pont a \(\displaystyle BC\) szakaszt \(\displaystyle BD:AC\) arányban osztja, vagyis az érintő körpár helyzetétől függetlenül

\(\displaystyle OB=\frac{BC\cdot BD}{AC+BD},\quad OB=\frac{BC\cdot AC}{AC+BD}.\)

Ekkor \(\displaystyle BC\cdot BD+AB\cdot(AC+BD)=AB\cdot AC+AC\cdot BD=AC\cdot AD\) miatt

\(\displaystyle OB\cdot OA=\frac{BC\cdot BD}{AC+BD}\cdot \left(\frac{BC\cdot BD}{AC+BD}+AB\right)= \frac{AC\cdot AD\cdot BC\cdot BD}{(AC+BD)^2},\)

vagyis az \(\displaystyle E\) pont az \(\displaystyle O\) középpontú,

\(\displaystyle r=\frac{\sqrt{AC\cdot AD\cdot BC\cdot BD}}{AC+BD}\)

sugarú körvonalon helyezkedik el. Ennek a körvonalnak az adott egyenesre nem illeszkedő pontjai pedig valamennyien a mértani helyhez tartoznak, hiszen egy ilyen \(\displaystyle E\) pontra \(\displaystyle OA\cdot OB=OE^2=OC\cdot OD\) miatt teljesül, hogy az \(\displaystyle OE\) egyenes az \(\displaystyle ABE\) és a \(\displaystyle CDE\) kört is érinti, így e két kör valóban az \(\displaystyle E\) pontban érinti egymást.

Statisztika:

39 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Barna István, Dinev Georgi, Fehér Zsombor, Gyarmati Máté, Győrfi 946 Mónika, Havasi 0 Márton, Homonnay Bálint, Janzer Olivér, Maga Balázs, Máthé László, Mester Márton, Ódor Gergely, Strenner Péter, Tossenberger Tamás.
3 pontot kapott:	Beleznay Soma, Bősze Zsuzsanna, Kalló Kristóf, Katona Dániel, Kecskés Boglárka, Medek Ákos, Nagy Róbert, Németh Gergely, Öreg Botond, Schultz Vera Magdolna, Szilágyi Gergely Bence, Tekeli Tamás, Weimann Richárd, Zilahi Tamás.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2011. októberi matematika feladatai