A B. 4390. feladat (2011. október)

B. 4390. Hány megoldása van a $\sin \log_\pi x + \log_\pi \sin x =0$ egyenletnek a [0,20] intervallumban?

(4 pont)

A beküldési határidő 2011. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az $\displaystyle x=0$ helyen $\displaystyle \log_\pi x$ nincs értelmezve. Ha $\displaystyle 0<x<1$, akkor $\displaystyle 0<\sin x<x<1$ és így a logaritmus-függvény monotonitása miatt $\displaystyle \log_\pi \sin x <\log_\pi x<0$. Ezért

$\displaystyle |\log_\pi \sin x|>|\log_\pi x|>|\sin \log_\pi x|,$

vagyis a feladatban szereplő egyenlőség nem teljesülhet. Elegendő tehát az $\displaystyle [1, 20]$ intervallumra szorítkozni. A $\displaystyle \sin \log_\pi x$ függvény ezen az intervallumon folytonos, az 1 helyen 0 értéket vesz fel, az $\displaystyle [1,\pi^{\pi/2}]$ intervallumon szigorúan monoton nő, a $\displaystyle \pi^{\pi/2}$ helyen 1 értéket vesz fel, a $\displaystyle [\pi^{\pi/2},20]$ intervallumon szigorúan monoton csökken, végül a 20 helyen $\displaystyle \sin \log_\pi 20\approx 0,5$ értéket vesz fel. Jegyezzük meg, hogy a $\displaystyle \log_\pi \sin x$ függvény az 1 helyen nyilván nemnulla, a 20 helyen pedig $\displaystyle \log_\pi \sin 20\approx -0,08$ értéket vesz fel. Az intervallum végpontjaiba tehát nem eshet megoldás.

A $\displaystyle \log_\pi \sin x$ függvény akkor van értelmezve, ha $\displaystyle \sin x>0$, ekkor pedig negatív értékeket vesz fel. A $\displaystyle -\log_\pi \sin x$ függvény tehát a $\displaystyle (2k\pi,2k\pi+\pi)$ alakú intervallumokon van értelmezve, ahol $\displaystyle k$ egész számot jelöl. Egy ilyen intervallumon folytonos, értéke nemnegatív, és az intervallumok végpontjainak közelében tetszőlegesen nagy értéket felvehet. A $\displaystyle (2k\pi,2k\pi+\pi/2]$ intervallumon szigorúan monoton csökken, a $\displaystyle [2k\pi+\pi/2,2k\pi+\pi)$ intervallumon szigorúan monoton nő, a $\displaystyle 2k\pi+\pi/2$ helyen pedig 0 értéket vesz fel.

Ezek szerint ha a $\displaystyle \sin \log_\pi x = -\log_\pi \sin x$ egyenlet megoldásait keressük az (1,20) intervallumban, akkor a vizsgálatot érdemes lebontani az alábbi 7 intervallumra:

$\displaystyle \left(1,\frac{\pi}{2}\right),\ \left(\frac{\pi}{2},\pi\right),\ \left(2\pi,\frac{5\pi}{2}\right),\ \left(\frac{5\pi}{2},3\pi\right),\ \left(4\pi,\frac{9\pi}{2}\right),\ \left(\frac{9\pi}{2},5\pi\right),\ \left(6\pi,20\right),$

ugyanis ezeken az intervallumokon $\displaystyle \pi<\pi^{\pi/2}<2\pi$ és $\displaystyle 20<6\pi+\pi/2$ miatt az egyenletben szereplő mindkét függvény szigorúan monoton nő vagy csökken, máshol pedig nem lehet megoldás. Ha figyelembe vesszük, hogy $\displaystyle -\log_\pi \sin 1>\sin \log_\pi 1$ és $\displaystyle -\log_\pi \sin 20<\sin \log_\pi 20$, a két függvény folytonossága alapján láthatjuk, hogy az egyenletnek mind a 7 intervallumban van megoldása. Azokba az intervallumokba, ahol az egyik függvény nő, a másik pedig csökken, nyilván pontosan egy megoldás esik.

Ugyanez a helyzet a többi intervallumban is, ami egy viszonylag pontos grafikus ábrázolás alapján valószínűsíthető. Egzakt bizonyításhoz jutnánk, ha belátnánk, hogy a fenti intervallumokon az egyik függvény szigorúan konvex, a másik pedig szigorúan konkáv. Ezzel több nehézség is adódik, ezért annak bizonyításához, hogy az egyenletnek az $\displaystyle (1,20)$ intervallumban pontosan 7 megoldása van, alkalmazzuk az $\displaystyle x=\pi^\alpha$, $\displaystyle \alpha=\log_\pi x$ helyettesítést, ahol most $\displaystyle 0< \alpha<\log_\pi 20\approx 2,62<\pi$. Ez a helyettesítés a monotonitást megtartja.

Feladatunk tehát annak megállapítása, hogy a $\displaystyle \sin\alpha=-\log_\pi\sin\pi^\alpha$ egyenletnek hány megoldása van $\displaystyle (0,\log_\pi 20)$ intervallumban. Mivel a $\displaystyle \sin\alpha$ függvény ezen az intervallumon szigorúan konkáv, elegendő megmutatni, hogy a $\displaystyle f(\alpha)=-\log_\pi\sin\pi^\alpha$ függvény ennek az intervallumnak minden olyan pontjában, ahol értelmezve van, szigorúan konvex. Ebből már az eddigiek alapján valóban következik, hogy a feladatnak pontosan 7 megoldása van. Ellenőrizzük tehát, hogy a fenti intervallum minden olyan pontjában, ahol az $\displaystyle f$ függvény értelmezve van, annak második deriváltja pozitív lesz.

Mivel $\displaystyle f(\alpha)=-(\ln \sin e^{c\alpha})/c$, ahol $\displaystyle c=\ln\pi>1$, az ismert deriválási szabályok alkalmazásával

$\displaystyle f'(\alpha)=-\frac{1}{c}\cdot\frac{1}{\sin e^{c\alpha}}\cdot \cos e^{c\alpha}\cdot e^{c\alpha}\cdot c=-\ctg e^{c\alpha}\cdot e^{c\alpha},$

ahonnan

$\displaystyle f''(\alpha)=\frac{1}{\sin^2 e^{c\alpha}}\cdot e^{c\alpha}\cdot c\cdot e^{c\alpha}- \ctg e^{c\alpha}\cdot e^{c\alpha}\cdot c =\frac{ce^{c\alpha}(e^{c\alpha}-\sin e^{c\alpha}\cdot\cos e^{c\alpha})}{\sin^2 e^{c\alpha}},$

ami a szóban forgó helyeken valóban pozitív, hiszen $\displaystyle e^{c\alpha}>1>\sin e^{c\alpha}\cdot\cos e^{c\alpha}$.

Statisztika:

28 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: Ágoston Tamás, Bősze Zsuzsanna, Czipó Bence, Demeter Dániel, Fehér Zsombor, Keszthelyi Gergely, Kovács 994 Bence, Leitereg András, Maga Balázs, Makk László, Nagy Bence Kristóf, Somogyvári Kristóf, Szabó 262 Lóránt, Szabó 777 Bence, Szabó 928 Attila, Takács 737 Gábor, Vámi Tamás Álmos, Weisz Ambrus, Zilahi Tamás.

3 pontot kapott: Balogh Tamás, Mátrahegyi Roland.

2 pontot kapott: 2 versenyző.

1 pontot kapott: 3 versenyző.

0 pontot kapott: 1 versenyző.

Nem versenyszerű: 1 dolgozat.

A KöMaL 2011. októberi matematika feladatai

28 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Bősze Zsuzsanna, Czipó Bence, Demeter Dániel, Fehér Zsombor, Keszthelyi Gergely, Kovács 994 Bence, Leitereg András, Maga Balázs, Makk László, Nagy Bence Kristóf, Somogyvári Kristóf, Szabó 262 Lóránt, Szabó 777 Bence, Szabó 928 Attila, Takács 737 Gábor, Vámi Tamás Álmos, Weisz Ambrus, Zilahi Tamás.
3 pontot kapott:	Balogh Tamás, Mátrahegyi Roland.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?