A B. 4416. feladat (2012. január)

B. 4416. Szerkesszünk háromszöget, ha adott egy csúcsa, a magasságpontja és a súlypontja.

(4 pont)

A beküldési határidő 2012. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A szerkesztendő \(\displaystyle ABC\) háromszögnek a magasságpontját, súlypontját, illetve köré írt körének középpontját jelölje rendre \(\displaystyle M,S,O\), a \(\displaystyle BC\) oldal felezőpontját pedig \(\displaystyle F\). Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle S\) pontokon kívül az \(\displaystyle A\) csúcs adott. A továbbiakban feltesszük, hogy \(\displaystyle A\ne S\), különben nyilván nem lehet megoldás.

Tudjuk, hogy az \(\displaystyle S\) pont az \(\displaystyle AF\) és az \(\displaystyle MO\) szakaszokat is \(\displaystyle 2:1\) arányban osztja. Ennek alapján az \(\displaystyle O\) és \(\displaystyle F\) pontok könnyen megszerkeszthetők. A \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) csúcsok egyrészt az \(\displaystyle O\) középpontú, \(\displaystyle OA\) sugarú \(\displaystyle k\) körvonalra esnek, másrészt az \(\displaystyle AM\) egyenesre merőleges, \(\displaystyle F\)-en áthatladó \(\displaystyle e\) egyenesen helyezkednek el; ezeket tehát \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle e\) két metszéspontja szolgáltatja. Ha ezen eljárás minden lépése egyértelmüen elvégezhető, akkor az így kapott háromszög lehet csak a feladat megoldása, és könnyen látható, hogy az valóban megoldása lesz a feladatnak.

Ha az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle M\) pontok egybeesnek, akkor minden lépés elvégezhető ugyan, de az \(\displaystyle e\) egyenes nem egyértelmüen meghatározott. Ekkor \(\displaystyle O\) és \(\displaystyle F\) is egybeesik és az \(\displaystyle e\) egyenesnek bármely \(\displaystyle O\)-n áthaladó, \(\displaystyle A\)-t nem tartalmazó egyenes választható. Így végtelen sok különböző megoldást kapunk, melyeknek \(\displaystyle A\)-nál lévő szöge derékszög.

Ha valamely lépés nem végezhető el, akkor nincsen megoldás. A \(\displaystyle k\) kört akkor nem tudjuk megszerkeszteni, ha \(\displaystyle O\) egybeesik \(\displaystyle A\)-val, vagyis ha az \(\displaystyle S\) pont az \(\displaystyle MA\) szakaszon helyezkedik el, és azt \(\displaystyle 2:1\) arányban osztja. Ha nem ez a helyzet, továbbá \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle e\) metszi egymást, akkor minden lépés elvégezhető, kivéve ha az \(\displaystyle MAS\) szög derékszög, ekkor ugyanis \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle e\) egyik metszéspontjaként az \(\displaystyle A\) csúcsot kapnánk vissza.

Az eddig megvizsgáltakon felül az egyértelmü szerkeszthetőség szükséges és elégséges feltétele tehát az, hogy \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle e\) messe egymást, vagyis hogy az \(\displaystyle F\) pont a \(\displaystyle k\) kör belsejébe essen, ami egyenértékü az \(\displaystyle AO>OF=AM/2\) feltétellel. Az \(\displaystyle AO\) szakasz hosszát kifejezhetjük az \(\displaystyle AM,MS,AS\) szakaszok hosszával, ha figyelembe vesszük, hogy \(\displaystyle AS\), illetve \(\displaystyle AO\) súlyvonala az \(\displaystyle AMN\), illetve \(\displaystyle ASN\) háromszögnek, ahol \(\displaystyle N\) az \(\displaystyle M\) pontnak \(\displaystyle S\)-re való tükörképe. Valóban, a súlyvonal hosszára vonatkozó, elfajuló esetekben is érvényes képlet (paralelogramma-tétel) alapján

\(\displaystyle (2AS)^2=2AM^2+2AN^2-MN^2,\quad (2AO)^2=2AS^2+2AN^2-SN^2.\)

Tekintve, hogy \(\displaystyle SN=SM\) és \(\displaystyle MN=2SN\), innen rövid számolással \(\displaystyle 4AO^2=6AS^2+3MS^2-2AM^2\) adódik, vagyis az \(\displaystyle AO>AM/2\) feltétel ekvivalens az adott \(\displaystyle A,M,S\) pontokra vonatkozó \(\displaystyle 2AS^2+MS^2>AM^2\) feltétellel, amit a koszinusz-tétel alapján \(\displaystyle AS>-2MS\cos ASM\sphericalangle\) alakra hozhatunk.

Statisztika:

184 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Herczeg József, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kecskés Boglárka, Kovács-Deák Máté, Léránt Cintia, Mester Márton, Mócsy Miklós, Szabó 789 Barnabás, Viharos Andor.
3 pontot kapott:	148 versenyző.
2 pontot kapott:	21 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2012. januári matematika feladatai