A B. 4419. feladat (2012. január)

B. 4419. Kassza Blanka, szenvedélyes szerencsejátékos tegnap 20 000 forintot dobált bele egy félkarú rabló gépbe, amit ráadásul a családja tudta nélkül, a kosztpénzből vett kölcsön. Hogy a dolog ne tudódjon ki, ma a családi kasszából magához veszi a maradék 40 000 forintot is, és ismét meglátogatja a kaszinót, ahol leül az egyik rulettasztalhoz. Mivel nem akar túl sokat kockáztatni, minden menetben a pirosra vagy a feketére tesz 1000 forintot. Ha nyer, aminek 18/37 az esélye, akkor 1000 forinttal gazdagodik, különben elveszíti a feltett pénzt. Akkor hagyja abba a játékot, ha sikerül összesen 60 000 forintot összegyűjtenie -- ebben az esetben otthon hiánytalanul visszateheti a pénzt a helyére -- vagy pedig mindenét elveszíti. Mekkora a valószínűsége, hogy Kassza Blankának sikerül a 60 000 forintot összegyűjtenie?

Pálvölgyi Dömötör (Budapest) ötletéből

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle p=18/37\), és \(\displaystyle k=0,1,\ldots,60\) esetén jelölje \(\displaystyle a_k\) annak a valószínüségét, hogy ha Kassza Blankának éppen \(\displaystyle k\)-szor 1000 forintja van, akkor sikerül összegyüjtenie a 60000 forintot. Nyilván \(\displaystyle a_0=0\), hiszen ha semmi pénze nincs, akkor már nem tud tovább játszani, és \(\displaystyle a_{60}=1\). Továbbá \(\displaystyle 1\le k\le 59\) esetén érvényes az \(\displaystyle a_k=pa_{k+1}+(1-p)a_{k-1}\) összefüggés, aminek alapján felírhatjuk az \(\displaystyle (a_k)\) sorozatra érvényes

\(\displaystyle a_{k}=\frac{1}{p}a_{k-1}-\frac{1-p}{p}a_{k-2},\quad k=2,3,\ldots,60\)

rekurziót. Mivel az \(\displaystyle x^2-(1/p)x+(1-p)/p=0\) másodfokú egyenlet megoldásai \(\displaystyle x_1=(1-p)/p\) és \(\displaystyle x_2=1\), a lineáris rekurziók elmélete alapján alkalmas \(\displaystyle \alpha,\beta\) valós számokkal

\(\displaystyle a_k=\alpha x_1^k+\beta x_2^k=\alpha\left(\frac{1-p}{p}\right)^k+\beta\)

teljesül \(\displaystyle k=0,1,\ldots,60\) esetén. Az \(\displaystyle a_0=0\) feltétel alapján \(\displaystyle \beta=-\alpha\), amit az \(\displaystyle a_{60}=1\) feltételbe behelyettesítve

\(\displaystyle \alpha=\frac{1}{\left(\frac{1-p}{p}\right)^{60}-1}\)

adódik, ahonnan

\(\displaystyle a_{k}= \frac{\left(\frac{1-p}{p}\right)^{k}-1}{\left(\frac{1-p}{p}\right)^{60}-1}= \frac{\left(\frac{19}{18}\right)^{k}-1}{\left(\frac{19}{18}\right)^{60}-1}= \frac{e^{k\ln(19/18)}-1}{e^{60\ln(19/18)}-1}.\)

Mivel \(\displaystyle \ln(19/18)\approx 0.05406722\), \(\displaystyle 40\ln(19/18)\approx2.1626888\), \(\displaystyle 60\ln(19/18)\approx 3.2440332\), azt kapjuk, hogy a keresett valószínüség,

\(\displaystyle a_{40}\approx\frac{e^{2.1626888}-1}{e^{3.2440332}-1}\approx \frac{8.6945-1}{25.637-1}\approx0.3123.\)

Statisztika:

36 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Czipó Bence, Czövek Márton, Demeter Dániel, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Kovács-Deák Máté, Maga Balázs, Medek Ákos, Mester Márton, Mihálykó András, Nagy Róbert, Ódor Gergely, Papp Roland, Szabó 928 Attila, Tardos Jakab, Tossenberger Tamás, Varnyú József, Viharos Andor.
4 pontot kapott:	Strenner Péter, Zilahi Tamás.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2012. januári matematika feladatai