A B. 4438. feladat (2012. március)

B. 4438. Az ABC háromszög szögfelezői a szemközti oldalt rendre az A₁, B₁ és C₁ pontokban metszik. Milyen háromszögek esetén lesz

(Matlap, Kolozsvár)

(3 pont)

A beküldési határidő 2012. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A háromszög oldalait értelmszerűen \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\)-vel jelölve, a szögfelező-tétel szerint

\(\displaystyle \overrightarrow{AA_1}=\frac{b\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{AC}}{b+c}, \overrightarrow{BB_1}=\frac{a\overrightarrow{BA}+c\overrightarrow{BC}}{a+c}, \overrightarrow{CC_1}=\frac{a\overrightarrow{CA}+b\overrightarrow{CB}}{a+b}.\)

Figyelembe véve, hogy \(\displaystyle \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\), \(\displaystyle \overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}\) és \(\displaystyle \overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\), a feltétel átírható a

\(\displaystyle \left(\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}-\frac{a}{a+c}-\frac{a}{a+b}\right)\overrightarrow{AB}+ \left(\frac{c}{b+c}+\frac{c}{a+c}-\frac{a}{a+b}-\frac{b}{a+b}\right)\overrightarrow{BC} =\mathbf{0}\)

alakba. Mivel az \(\displaystyle \overrightarrow{AB}\) és \(\displaystyle \overrightarrow{BC}\) vektorok nem párhuzamosak, ez pontosan akkor teljesül, ha mindkét vektor együtthatója 0, vagyis ha

\(\displaystyle \frac{a}{a+c}+\frac{a}{a+b}=\frac{c}{b+c}+\frac{c}{a+c}=1.\)

Kis átalakítással ez ekvivalens az \(\displaystyle a^2=bc\), \(\displaystyle c^2=ab\) feltételrendszerrel. Ebből \(\displaystyle a^3=abc=c^3\), vagyis \(\displaystyle a=c\) következik, ahonnan már \(\displaystyle a=b=c\) is leolvasható. Megfordítva, ha \(\displaystyle a=b=c\), akkor a feltételek nyilván teljesülnek. Ez azt jelenti, hogy a feladatban megadott feltételt pontosan a szabályos háromszögek elégítik ki.

Statisztika:

68 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Babik Bálint, Balogh Tamás, Bingler Arnold, Bősze Zsuzsanna, Czipó Bence, Di Giovanni Márk, Englert Franciska, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Géczi Péter Attila, Gyarmati Máté, Homonnay Bálint, Horváth János, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Jenei Adrienn, Kabos Eszter, Katona Dániel, Kecskés Boglárka, Kiss 902 Melinda Flóra, Kúsz Ágnes, Leitereg András, Leitereg Miklós, Maga Balázs, Márton Boldizsár, Medek Ákos, Mihálykó András, Mócsy Miklós, Nagy-György Pál, Nemes György, Öreg Botond, Papp Roland, Sagmeister Ádám, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Tamás, Stein Ármin, Szabó 789 Barnabás, Tardos Jakab, Thamó Emese, Tóth Balázs, Varga 911 Szabolcs, Weimann Richárd, Weisz Ambrus, Zilahi Tamás, Zsiros Ádám.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	11 versenyző.

A KöMaL 2012. márciusi matematika feladatai