A B. 4441. feladat (2012. március)

B. 4441. Egy tetraéder oldallapjainak a területe a, b, c, d. Az a és b területű lapok közötti szög , a b és c közötti szög , a c és a közötti szög pedig . Igazoljuk, hogy

d²=a²+b²+c²-2ab^.cos -2bc^.cos -2ca^.cos .

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Minden laphoz vegyünk fel egy rá merőleges kifelé mutató vektort úgy, hogy az \(\displaystyle u\) területű lapra merőleges \(\displaystyle \mathbf{u}\) vektor hossza \(\displaystyle |\mathbf{u}|=u\) legyen. Ekkor \(\displaystyle \mathbf{d}=-\mathbf{a}-\mathbf{b}-\mathbf{c}\). Valóban, a \(\displaystyle d\) területű lappal szemközti csúcsból a másik három csúcsba mutató vektort jelölje \(\displaystyle \mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}\) oly módon, hogy a három vektor ebben a sorrendben jobbrendszert alkosson. Ekkor

\(\displaystyle 2\mathbf{a}+2\mathbf{b}+2\mathbf{c}=\mathbf{x}\times \mathbf{y}+ \mathbf{y}\times \mathbf{z}+\mathbf{z}\times \mathbf{x}.\)

Ugyanakkor az \(\displaystyle \mathbf{u}\times \mathbf{u}=\mathbf{0}\) és az \(\displaystyle \mathbf{u}\times \mathbf{v}=-\mathbf{v}\times \mathbf{u}\) azonosságok miatt

\(\displaystyle 2\mathbf{d}=(\mathbf{z}- \mathbf{x})\times(\mathbf{y}- \mathbf{x})= -\mathbf{x}\times \mathbf{y}- \mathbf{y}\times \mathbf{z}-\mathbf{z}\times \mathbf{x}.\)

Mivel az \(\displaystyle \mathbf{a}\) és \(\displaystyle \mathbf{b}\) vektorok hajlásszöge \(\displaystyle 180^\circ-\gamma\), a \(\displaystyle \mathbf{b}\) és \(\displaystyle \mathbf{c}\) vektoroké \(\displaystyle 180^\circ-\alpha\), a \(\displaystyle \mathbf{c}\) és \(\displaystyle \mathbf{a}\) vektoroké pedig \(\displaystyle 180^\circ-\alpha\), a vektorok skaláris szorzatának tulajdonságai alapján

\(\displaystyle d^2=\mathbf{d}^2=(-\mathbf{a}-\mathbf{b}-\mathbf{c})^2= \mathbf{a}^2+\mathbf{b}^2+ \mathbf{c}^2+2\mathbf{a}\mathbf{b}+ 2\mathbf{a}\mathbf{c}+2\mathbf{b}\mathbf{c}=\)

\(\displaystyle =a^2+b^2+c^2+2ab\cdot\cos(180^\circ-\gamma)+ 2ac\cdot\cos(180^\circ-\beta)+2bc\cdot\cos(180^\circ-\alpha)=\)

\(\displaystyle =a^2+b^2+c^2- 2ab\cdot \cos\gamma- 2bc\cdot \cos\alpha- 2ca\cdot \cos\beta.\)

Statisztika:

20 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Fonyó Viktória, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Kecskés Boglárka, Kovács-Deák Máté, Machó Bónis, Maga Balázs, Medek Ákos, Mester Márton, Nagy Róbert, Ódor Gergely, Szabó 777 Bence, Szabó 928 Attila, Tossenberger Tamás, Viharos Andor, Weimann Richárd.
4 pontot kapott:	Strenner Péter.

A KöMaL 2012. márciusi matematika feladatai