A B. 4442. feladat (2012. április)

B. 4442. Anna, Béla és Cecília a következő játékot játssza. Felváltva mondanak egy egész számot 1 és 10 között, és a mondott számot a már addig elhangzott számok összegéhez adják (egyszerűség kedvéért mindig az összeget mondja be a soronkövetkező játékos). Az nyer, aki először mond 100-at. Bizonyítsuk be, hogy a két lány együtt ki tud alakítani olyan stratégiát, amellyel kettőjük közül biztosan valamelyikük nyer.

Javasolta: Futó Béla (New York)

(3 pont)

A beküldési határidő 2012. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen Anna taktikája az, hogy mindig 1-et ad hozzá a Cecília által kimondott számhoz, Cecíliáé pedig az, hogy ha Béla az i számot adta hozzá az Anna által kimondott számhoz, akkor Cecília a 11-i számot adja hozzá a Béla által kimondotthoz. Ez azt jelenti, hogy bármit is mondjon Béla, minden egyes alkalommal bármelyik lány pontosan 12-vel fog nagyobb számot mondani, mint az előző körben. Így, mivel 100=8^.12+4, ha Anna 4-gyel kezd, akkor ő nyeri a játékot, ha pedig 5-tel kezd, akkor Cecília lesz a nyertes.

Megjegyzés: Az állítást akkor sem nehéz belátni, ha a három játékos nem ebben a sorrendben mondja a számokat.

Statisztika:

118 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	95 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.

A KöMaL 2012. áprilisi matematika feladatai