A B. 4444. feladat (2012. április)

B. 4444. Az ABCD négyzet D csúcsát A körül, a (D-vel szemközti) B csúcsát pedig C körül $\alpha$ hegyesszöggel kifelé forgattuk, s így rendre az E, illetve G pontokat kaptuk. Az AE és BG egyenesek metszéspontja F. A GD egyenes a GCB kört, illetve a BDE kört másodszor rendre az L, illetve M pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy az A, B, F, L, M pontok egy körön vannak.

Javasolta: Bodnár János

(3 pont)

A beküldési határidő 2012. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel a DC=CB=CG és $DCG\sph=90^\circ+\alpha$ , a DCG egyenlőszárú háromszögben $CDG\sph=CGD\sph=45^\circ-\alpha/2$ , ahonnan $ADM\sph= 45^\circ+\alpha/2$ következik. Mivel AE=AD=AB, a BDE kör középpontja A és így AM=AD is teljesül. Az ADM egyenlőszárú háromszögben tehát $DAM\sph=90^\circ-\alpha$ , vagyis az ABM egyenlőszárú háromszögben $MAB\sph=\alpha$ és $AMB\sph= 90^\circ-\alpha/2$ . Ugyanakkor az ezzel egybevágó CBG háromszögben $CBG\sph=90^\circ-\alpha/2$ , ezért az ABF háromszögben $ABF\sph=\alpha/2$ , míg $BAF\sph=90^\circ-\alpha$ , tehát $AFB\sph=90^\circ+\alpha/2$ , ami az AMB szöget 180^o-ra egészíti ki. Ez azt jelenti, hogy az AFBM négyszög húrnégyszög.

Már csak azt kell belátni, hogy az L pont is az ABM körre esik. Ez nyilvánvaló, ha L=M. Mivel a BGCL négyszög húrnégyszög, $BLG\sph=BCG\sph=\alpha$ . Ha az L pont az MG szakasz belsejébe esik, akkor $BLM\sph=180^\circ-BLG\sph=180^\circ-MAB\sph$ , vagyis az ABLM négyszög húrnégyszög. Ha pedig L a DG egyenesen az M pont másik oldalára esik, akkor $MLB\sph=GLB\sph=MAB\sph$ , így most az ABML négyszög lesz húrnégyszög.

Statisztika:

48 dolgozat érkezett.

3 pontot kapott: Balogh Tamás, Baumgartner Róbert, Bingler Arnold, Bősze Zsuzsanna, Czipó Bence, Emri Tamás, Énekes Tamás, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kaprinai Balázs, Khayounti Sára, Leitereg András, Maga Balázs, Nagy-György Pál, Petrényi Márk, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Tamás, Szabó 928 Attila, Szőke Tamás, Weimann Richárd, Weisz Ambrus, Zilahi Tamás, Zsiros Ádám.

2 pontot kapott: Di Giovanni Márk, Dinev Georgi, Jávorszky Natasa, Kiss 902 Melinda Flóra, Leitereg Miklós, Makk László, Mihálykó András, Mogyorósi Ferenc, Nagy Anna Noémi, Nguyen Anh Tuan, Onódi Péter, Sagmeister Ádám, Somogyvári Kristóf, Szabó 157 Dániel, Wiandt Péter.

1 pontot kapott: 3 versenyző.

0 pontot kapott: 4 versenyző.

A KöMaL 2012. áprilisi matematika feladatai

48 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Balogh Tamás, Baumgartner Róbert, Bingler Arnold, Bősze Zsuzsanna, Czipó Bence, Emri Tamás, Énekes Tamás, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kaprinai Balázs, Khayounti Sára, Leitereg András, Maga Balázs, Nagy-György Pál, Petrényi Márk, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Tamás, Szabó 928 Attila, Szőke Tamás, Weimann Richárd, Weisz Ambrus, Zilahi Tamás, Zsiros Ádám.
2 pontot kapott:	Di Giovanni Márk, Dinev Georgi, Jávorszky Natasa, Kiss 902 Melinda Flóra, Leitereg Miklós, Makk László, Mihálykó András, Mogyorósi Ferenc, Nagy Anna Noémi, Nguyen Anh Tuan, Onódi Péter, Sagmeister Ádám, Somogyvári Kristóf, Szabó 157 Dániel, Wiandt Péter.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?