A B. 4450. feladat (2012. április)

B. 4450. Adottak az e egyenesen ebben a sorrendben az egymástól különböző A, B és C pontok. Mi azon P pontok mértani helye, amelyekre az ACP háromszög beírt köre az e egyenest B-ben érinti?

(4 pont)

A beküldési határidő 2012. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az ACP háromszögről pontosan akkor beszélhetünk, ha P nem illeszkedik az e egyenesre; ezt feltesszük tehát a továbbiakban. Érintse az ACP háromszög beírt köre az AC,CP,PA oldalakat rendre az X,Y,Z pontokban. Az érintőszakaszok egyenlősége miatt AX-CX=AZ-CY=(AZ+ZP)-(CY+YP)=AP-CP. Az AC szakasz egy X pontjára AX-CX=AB-CB akkor és csak akkor teljesül, ha X=B. Ezért az ACP háromszög beírt köre pontosan akkor érinti az e egyenest a B pontban, ha AP-CP=AB-CB. Ezen feltételt teljesítő pontok mértani helye az AC szakasz felező merőlegese, amennyiben B az AC szakasz felezőpontja, egyébként pedig egy hiperbolaág, mely az e egyenest B-ben metszi. A keresett mértani helyet úgy kapjuk, hogy a hiperbolaágból (vagy felező merőlegesből) elhagyjuk annak e-vel közös részét, vagyis a B pontot.

Statisztika:

47 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Bingler Arnold, Bősze Zsófia, Di Giovanni Márk, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Maga Balázs, Mester Márton, Nagy Róbert, Nagy-György Pál, Sagmeister Ádám, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Viharos Andor, Zilahi Tamás.
3 pontot kapott:	Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Böszörményi Borbála, Fehér Zsombor, Gyarmati Máté, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Homonnay Bálint, Katona Dániel, Kecskés Boglárka, Kiss 902 Melinda Flóra, Mócsy Miklós, Nagy Anna Noémi, Nemes György, Ódor Gergely, Rácz Kristóf, Schwarcz Tamás, Tossenberger Tamás, Zahemszky Péter.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2012. áprilisi matematika feladatai