A B. 4474. feladat (2012. október)

B. 4474. Az ABCD négyzet AB, BC, CD és DA oldalain vegyük fel rendre a K, L, M és N pontokat úgy, hogy legyen. Bizonyítsuk be, hogy KL²+AM²=LA²+MN².

(4 pont)

A beküldési határidő 2012. november 12-én LEJÁRT.

Útmutatás: Lássuk be, hogy KB=DN.

Megoldás: Mivel az MAL és az AMN szögek váltószögek, az NM és AL egyenesek párhuzamosak. Ebből következik, hogy az MDN háromszög hasonló az ABL háromszöghöz. Ugyanígy az LBK háromszög hasonló az ADM háromszöghöz.

E két hasonlóság, valamint AB=AD alapján

Ennélfogva

KL²+AM²=(KB²+LB²)+(AD²+MD²)=

=(AB²+LB²)+(ND²+MD²)=LA²+MN².

Statisztika:

195 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	127 versenyző.
3 pontot kapott:	27 versenyző.
2 pontot kapott:	20 versenyző.
1 pontot kapott:	14 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2012. októberi matematika feladatai