A B. 4475. feladat (2012. október)

B. 4475. Mutassuk meg, hogy minden ötlapú konvex poliéderhez létezik olyan sík, amely a poliédernek egyik csúcsán sem megy át, de mindegyik lapját metszi.

Javasolta: Vígh Viktor (Szeged)

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. november 12-én LEJÁRT.

Útmutatás: Lássuk be, hogy kombinatorikusan pontosan kétféle ötlapú konvex poliéder van.

Megoldás: Legyen K egy ötlapú konvex poliéder, ekkor K minden lapjának legfeljebb 4 éle van. K-nak biztosan van legalább egy négyszöglapja. Ha ugyanis K-nak minden lapja háromszög lenne, akkor éleinek száma (5^.3)/2=7,5 lenne, ami lehetetlen. Legyen K-nak egy négyszöglapja ABCD. Ha ennek valamennyi élére háromszöglap illeszkedik, akkor azoknak egy közös E csúcsban kell összefutni, vagyis egy négyszög alapú gúláról van szó. Ha pedig az AB élre egy ABEF négyszöglap illeszkedik, akkor az EF élet nem tartalmazhatja sem a BC-re sem az AD-re illeszkedő lap, tehát csak a CD élre illeszkedő lap tartalmazhatja, vagyis egy háztető-szerű testről van szó.

Bármelyik esetről legyen is szó, vegyünk fel az AB, AD, CE élek belsejében egy-egy X, Y, Z pontot az ábra szerint. Ezek nem esnek egy egyenesre, és az általuk meghatározott sík nem tartalmazza K-nak egyetlen élét sem. Mivel az XYZ síknak a K poliéder minden lapjával van csúcstól különböző közös pontja, annak mind az 5 lapját metszi.

Statisztika:

67 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Péter, Árkos Gergely, Badacsonyi István András, Baran Zsuzsanna, Barna István, Baumgartner Róbert, Bingler Arnold, Énekes Tamás, Fehér Zsombor, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Homonnay Bálint, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Jávorszky Natasa, Kabos Eszter, Kúsz Ágnes, Leitereg András, Leitereg Miklós, Maga Balázs, Medek Ákos, Mócsy Miklós, Schultz Vera Magdolna, Szabó 262 Lóránt, Szabó 789 Barnabás, Szász Dániel Soma, Tossenberger Tamás, Venczel Tünde, Williams Kada, Zilahi Tamás.
4 pontot kapott:	Balogh Tamás, Bognár Máté, Csibi Levente, Gergely Anita, Németh Gergely, Petrényi Márk, Sagmeister Ádám, Sal Kristóf, Schwarcz Tamás, Tardos Jakab, Tóth László Gábor.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2012. októberi matematika feladatai