A B. 4482. feladat (2012. november)

B. 4482. Gumiországban csak a tízezernél kisebb természetes számokat ismerik. Ezek leírását rugalmasan oldják meg. A ,,gumiszámok'' leírásának alapszabálya, hogy minden számot a lehető legkisebb alapszámú számrendszerben írnak le úgy, hogy a leírt szám legfeljebb négyjegyű legyen. Sajnos az így leírt számok nem mindig dekódolhatók egyértelműen; a négyjegyű 1101 gumiszám például egyszerre jelenti a 13-at és a 37-et. Van-e olyan háromjegyű gumiszám, ami egyszerre több természetes számot is jelent?

Lakatos Tamás (Balassagyarmat) javaslata alapján

(3 pont)

A beküldési határidő 2012. december 10-én LEJÁRT.

Útmutatás: Írjuk fel a számokat növekvő sorrendben.

Megoldás: Az első 15 számot 2-es számrendszerben fogják leírni. Ezek közül az első hét gumi-alakja rendre 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111. A 8 és 15 közé eső számok gumiszámként leírva már négyjegyűek leszek. A 15-nél nagyobb számok 2-es számrendszerben leírva már legalább 5-jegyűek, ezek leírásához tehát legalább 3-as alapú számrendszert kell használni. Világos tehát, hogy pontosan a 16 és 80 közé eső számokat fogják 3-as számrendszerben leírni. Ezek közül a 27-nél kisebbek gumi-alakja rendre 121, 122, 200, 201, 202, 210, 211, 212, 220, 221, 222, a többi pedig már 4-jegyű lesz.

Eddig 15 darab háromjegyű gumiszámot találtunk. Most megmutatjuk, hogy a 80-nál nagyobb számok gumi-alakja legalább 4-jegyű, amiből már látszik, hogy semelyik háromjegyű gumiszám nem jelölhet egyszerre két különböző természetes számot. Legyen n3. Ekkor n⁴>(n+1)³, hiszen 3⁴=80>64=4³, ha pedig n4, akkor az (n+1)³ szám n-es számrendszerbeli alakja 1331, vagyis ez a szám tényleg kisebb, mint n⁴, melynek n-es számrendszerbeli alakja 10000. Ez pedig azt jelenti, hogy az n⁴ és (n+1)⁴-1 közé eső számokat mind (n+1)-alapú számrendszerben fogják leírni, és azok gumi-alakja mind 4-jegyű lesz.

Statisztika:

128 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Andó Angelika, Asztalos Bogdán, Badacsonyi István András, Baran Zsuzsanna, Barna István, Berezvai Orsolya, Berta Dénes, Bolla Martin, Csépai András, Czipó Bence, Fekete Panna, Forrás Bence, Gyarmati Richárd, Győrfi 946 Mónika, Gyulai-Nagy Szuzina, Hegyi Zoltán, Horváth János, Iványi Blanka, Jassó Gergely, Jávorszky Natasa, Kárpáti Zoltán, Kovács 101 Dávid Péter, Kovács 972 Márton, Kúsz Ágnes, Maga Balázs, Mócsy Miklós, Nagy Bence Kristóf, Nagy Gergely, Nemes György, Németh 412 Virág, Páli Petra, Palkó Richárd, Qian Lívia, Somogyvári Kristóf, Szabó 157 Dániel, Szaksz Bence, Szebellédi Márton, Szőke Tamás, Talyigás Gergely, Tamás Kristóf, Telek Máté László, Tóth László Gábor, Varga 149 Imre Károly, Venczel Tünde, Weisz Ambrus, Wiandt Zsófia.
2 pontot kapott:	34 versenyző.
1 pontot kapott:	29 versenyző.
0 pontot kapott:	17 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2012. novemberi matematika feladatai