A B. 4483. feladat (2012. november)

B. 4483. Egy négyzetrácsos fehér papíron 40 kis négyzetet pirosra festettünk. Bizonyítsuk be, hogy mindig ki lehet jelölni közülük 10 négyzetet úgy, hogy semelyik kettőnek ne legyen közös pontja.

(3 pont)

A beküldési határidő 2012. december 10-én LEJÁRT.

Útmutatás: Színezzük ki az egész négyzetrácsot négy színnel.

Megoldás: Tekintsük azon kis négyzeteket, melyek bal alsó sarkának mindkét koordinátája páros; ezek közül semelyik kettőnek nincs közös pontja. Ha a kis négyzetek ezen rendszerét eltoljuk rendre a (0;1), (1;0) és (1;1) vektorokkal, akkor azon kis négyzeteket kapjuk, melyek bal alsó sarkának koordinátáinak paritása páros-páratlan, páratlan-páros, illetve páratlan-páratlan. Ily módon a négyzeteket négy osztályba soroltuk úgy, hogy egy osztályon belül semelyik kettőnek nincs közös pontja. Világos, hogy a 40 piros négyzet között kell legyen 10, amelyik ugyanabba az osztályba esik.

Statisztika:

152 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	95 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	28 versenyző.
0 pontot kapott:	25 versenyző.

A KöMaL 2012. novemberi matematika feladatai