A B. 4489. feladat (2012. november)

B. 4489. Adottak a P₁, P₂ és P₃ pontok, valamint a e₁, e₂ és e₃ távolságok. Szerkesszünk olyan kört, amelyhez P_i-ből e_i hosszúságú érintőszakasz húzható.

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. december 10-én LEJÁRT.

Útmutatás: Hatványpont.

Megoldás: Tegyük fel először, hogy az adott pontok mind különbözők. A szerkesztendő kör középpontját jelölje O, sugarát pedig r. Ekkor i=1,2,3 esetén P_iO²=e_i²+r², vagyis minden ij párra P_iO²-P_jO²=e_i²-e_j²=:q_ij. Szükség esetén i és j szerepét felcserélve feltételezhetjük, hogy q_ij0. Az O pontból a P_iP_j egyenesre állított merőleges talppontját M_ij-vel jelölve

q_ij=P_iO²-P_jO²=P_iM_ij²-P_jM_ij²=(P_iM_ij+P_jM_ij)(P_iM_ij-P_jM_ij).

Azon X pontok mértani helye pedig, melyekre P_iX²-P_jX²=P_iM_ij²-P_jM_ij², éppen az M_ij pontból a P_iP_j egyenesre állított merőleges egyenes. A P_iP_j egyenesen pontosan egy olyan Y pont van, melyre (P_iY+P_jY)(P_iY-P_jY)=q_ij. Valóban, q_ijP_iP_j² esetén ez a P_iP_j szakasz azon pontja, melyre P_iY-P_jY=q_ij/P_iP_j, q_ij>P_iP_j² esetén pedig a P_iP_j szakasz P_j-n túli meghosszabbításának azon pontja, melyre P_iY+P_jY=q_ij/P_iP_j.

Ezek alapján a keresett kör (ha létezik) a következő eljárással szerkeszthető meg. A q_ij=(e_i+e_j)(e_i-e_j) összefüggés alapján a párhuzamos szelők tétele alapján az M_ij pontok egyértelműen megszerkeszthetők. Ezután megszerkesztjük az M_ij pontból a P_iP_j egyenesre állított e_ij merőlegest. Az O pontot az e_ij egyenesek metszéspontjaként kapjuk. A P₁ középpontú e₁ sugarú kört a P₁O átmérőjű körrel elmetszve adódnak a P₁-ből a keresett körhöz húzott érintők érintési pontjai, melyek ismeretében a keresett kör azonnal megrajzolható.

A diszkusszióra térve, tegyük fel először, hogy a P_i pontok nem illeszkednek egy egyenesre. Ekkor az e₁₂ és e₁₃ egyenesek egyetlen pontban metszik egymást, melyen az e₂₃ egyenes is áthalad. Így az O pont helyzete egyértelműen meghatározott. Ha OP₁e₁, akkor a feladatnak nincs megoldása, OP₁>e₁ esetén pedig a fenti eljárással kapott kör a feladat (egyetlen) megoldása. Ha a P_i pontok egy egyenesre illeszkednek, akkor az e_ij egyenesek egymással párhuzamosak. Ha e₁₂ és e₁₃ nem esnek egybe, akkor a feladatnak nincs megoldása. Ha egybeesnek, akkor e₂₃ is egybeesik velük. Tekintsük ennek az egyenesnek azon O pontjait, melyekre OP₁>e₁; ezek vagy kiadják a teljes egyenest, vagy két nyílt félegyenest alkotnak. A keresett kör középpontjai csak ezek a pontok lehetnek, és minden ilyen pontra kapunk egy egyértelmű megoldást. A feladatnak ekkor tehát végtelen sok megoldása van.

Végül tegyük fel, hogy valamely két adott pont egybeesik. Ha mindhárom egybeesik, akkor a szerkeszthetőség szükséges feltétele, hogy e₁=e₂=e₃ legyen. Ha ez teljesül, akkor végtelen sok megoldást kapunk, minden olyan O pontra egyet, melyre OP₁>e₁ teljesül. Végül ha P₁=P₂P₃, akkor a szerkeszthetőség szükséges és egyben elégséges feltétele e₁=e₂, mely esetben végtelen sok megoldást kapunk, egyet az e₁₃ egyenes minden olyan O pontjára, melyre OP₁>e₁ teljesül.

Statisztika:

62 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Nagy-György Pál, Venczel Tünde.
4 pontot kapott:	Bajnok Anna, Balogh Tamás, Bogár Blanka, Bősze Zsuzsanna, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Géczi Péter Attila, Herczeg József, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Kaprinai Balázs, Kúsz Ágnes, Machó Bónis, Maga Balázs, Nagy Bence Kristóf, Petrényi Márk, Sagmeister Ádám, Seress Dániel, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Tossenberger Tamás, Vályi András, Williams Kada, Zilahi Tamás.
3 pontot kapott:	16 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	7 dolgozat.

A KöMaL 2012. novemberi matematika feladatai