Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4502. feladat (2013. január)

B. 4502. Egy zsákban 2013 korong van, megszámozva 1-től 2013-ig. Hányat kell közülük visszatevés nélkül kihúznunk, hogy biztosan legyen köztük két olyan szám, amelyek összege osztható 7-tel?

Javasolta: Fülöp Dóra (Pécs)

(3 pont)

A beküldési határidő 2013. február 11-én LEJÁRT.

Megoldási ötlet: Skatulyaelv.

 

Megoldás. Legyen H_r=\big\{x\in\{1,2,\ldots,2013\}:\, x\equiv r\pmod7\big\}. Mivel 2013=7.287+4, |H1|=|H2|=|H3|=|H4|=288, és |H5|=|H6|=|H0|=287.

Két egész szám összege akkor osztható 7-tel, ha mindkettő H0-ban van, vagy pedig az egyik a Hr, a másik pedig a H7-r halmazban van valamelyik r-re. Ha kiválasztjuk H1, H2, H3 összes elemét, és egy elemet H0-ból, ezek között biztosan nem lesz olyan pár, amelyek összege 7-tel osztható. Az ilyen módon kiválasztott elemek száma 3.288+1=865. Tehát lehetséges 865 korongot kiválasztani úgy, hogy ne legyen 7-tel osztható összegű pár.

Megfordítva, ha nincs 7-tel osztható összegű pár, akkor a H0 halmazból legfeljebb 1 elemet választottunk ki, továbbá minden egyes r=1,2,3-ra a Hr és H7-r halmazok valamelyikéből egyáltalán nem választottunk ki számot. Ezt jelenti, hogy a Hr\cupH7-r halmazból legfeljebb max (|Hr|,|H7-r|)=288 elemet választottunk ki, az összes kiválasztott elemek száma tehát legfeljebb 3.288+1=865. Másképpen fogalmazva, ha ennél több, azaz legalább 866 korongot választunk ki, akkor ezek között lesz két olyan, amelyek összege osztható 7-tel.

Tehát legalább 866-ot kell kiválasztanunk az 1,2,\ldots,2013 számok közül ahhoz, hogy biztosan osztható legyen 7-tel valamelyik kettő összege.

Statisztika:

238 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:191 versenyző.
2 pontot kapott:33 versenyző.
1 pontot kapott:10 versenyző.
0 pontot kapott:4 versenyző.

A KöMaL 2013. januári matematika feladatai